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1、溜溜球的力学原理 杭州公益中学 竺叶澍表面看来，YO-YO球只是个极为简单的玩具：无非就是一段绳子连着一个线轴。但一到行家手里，它就变得异常奇妙。熟练的YO-YO球玩家能让YO-YO球向各个方向飞出，悬停在半空中，然后迅速收回掌内。这些东西就仿佛有了生命！这看起来像在变戏法，其实只是利用了物理原理。无论是传统溜溜球，还是近年出现的精密自动YO-YO球，都清晰展现出基本的科学原理。1 构造及其设计的原理现代YO-YO球于20世纪20年代从菲律宾传入美国（见下图），其绳子只是环绕在轮轴上。（图为YO-YO球的构造图,一对薄片圆盘,直径一般为54-75mm,厚为10mm,塑料或金属制成;中间为一段圆
2、柱状空芯薄壁中轴,直径一般为2mm,长约为20mm。圆盘通过螺帽和螺丝固定在中轴两侧,然后在轴上套上细长绳,并在细绳的另一端打上一个圆环。）最初的YO-YO球在设计时是将绳子紧系在轮轴上。而现代溜溜球只是让绳子环绕在轮轴上，这样溜溜球就能“悬停”。无论哪种YO-YO球，玩家都会把绳子紧紧缠绕在轮轴上。溜溜球在玩家手中时，具有一定的势能。这种势能分为两种不同形式： YO-YO球被持在空中，因此具有落向地面的势能。 绳子环绕着YO-YO球，因此放线时有旋转的势能。 玩家投放YO-YO球时，上述两种形式的势能都会转化为动能。YO-YO球的线轴垂直落向地面，形成一定的线动量（直线中的动量）。同时绳子展
3、开、线轴旋转，形成角动量（旋转的动量）。 当YO-YO球到达绳子底端时，就不能继续下降了。但由于它还有很多角动量，因此会继续旋转。旋转运动让YO-YO球获得陀螺稳定性。物体旋转时外力会随物体本身一起移动，因此物体能抵抗对转动轴的改变。例如，如果在转轮顶端的某点推一下，当这个点移到转轮前端时，施加的力依然存在。受力点继续移动，并最终对转轮的底端施力，从而与最初施加在顶端的力自行抵消。因此，只要YO-YO球的旋转速度够快，就能使其转轴与绳子保持垂直。如果按最初的设计将绳子紧系在轮轴上，那么旋转的轮轴就会抓紧绳子并开始重新绕线，YO-YO球也会沿绳子向上攀回。YO-YO球重新绕线产生的摩擦力会损失能
4、量，因此玩家必须稍稍拖曳绳子补偿能量。而现代YO-YO球的绳子只是环绕在轮轴上，因此二者间的摩擦力变小了。线轴完全展开时，并不会自动弹回，只会空转。要让YO-YO球重新绕线，玩家只需用力拉一下绳子。拉绳会暂时增加绳子和轮轴之间的摩擦力，于是轮轴开始重新绕线。只要开始绕线，这种YO-YO球就能像早期的YO-YO球一样回到玩家手中。2 游戏游戏时,把细绳全部紧紧地缠绕在中轴上,用某一手指套住圆环。将YO-YO球背向抛出后它就会马上逆细绳缠绕方向转动,竖直下落逐渐解脱细绳的缠绕,直到细绳全部展开为止，开始转动。随后,当人提起手时或是先将YO-YO球搭上绳子再提绳，它又会自动顺着同一转动方向往上爬,使
5、细绳重新缠绕在中轴上。当YO-YO球停止转动后再次抛出，YO-YO球随即又沿反方向摆脱细绳缠绕转动下落,然后上爬。就这样下落,上爬,周而复始。还可以玩一些复杂的招式。3 YO-YO球的悬停装置对大多数人来说，玩YO-YO球最难的就是让线轴悬停得久一些，以便做点花式技巧。要让普通的YO-YO球悬停一会，就必须用力抛出，使其具有强大的角动量。但如果快速抛出YO-YO球，手可能会抖动，于是又把线轴拉回。此外，YO-YO球新手在“收”球方面也会遇到问题（中断悬停）。要经过大量练习才能使平衡力恰到好处，让YO-YO球顺利悬停。YO-YO球制造商尝试过许多方式，希望能让YO-YO球更易于悬停和收回。最简单
6、的改进方法之一就是重新分配YO-YO球的内部重量，以改变其惯性矩。物体的惯性矩可衡量其抵抗旋转变化的能力。它取决于以下两个因素：物体质量以及该质量到物体转动轴的距离。质量越大就越难开始和停止旋转；质量到转动轴的距离越长也会如此，例如铺平的粘土块，就比质量相同但紧凑的粘土球更难旋转。如果YO-YO球两个圆片的惯性矩增加，YO-YO球就能悬停更长时间，停止旋转也更难。为此，制造商通常让高性能YO-YO球的重量集中在线轴外沿。这样一来，转动轴和大部分质量之间的距离更远，线轴就能获得更大的惯性矩。另一种方法是进一步让YO-YO球绳子和轮轴之间的摩擦力减小。一种盛行的方式是沿YO-YO球的轮轴安装滚珠轴
7、承装置，这样就能让轴、绳分离。通过下列图解，可以了解典型的轴承系统如何运作。装有滚珠轴承的YO-YO球：滚珠轴承会减少绳轴之间的摩擦力，更利于YO-YO球“悬停”。 轴承装置还包括两个轴承圈，这是滚珠轴承必备的槽道。内圈直接环绕轮轴，并与外圈相距一个轴承的宽度。滚珠轴承则放置在两个轴承圈之间。溜溜球的绳子就缠绕在外圈上，因此不会碰触轮轴。两个轴承圈也没有互相绑定：内圈可以在外圈之内稍稍倾斜。当我们抛出YO-YO球时，放线动作会带动外圈旋转。而抛力又令外圈里的内圈倾斜，增加两个轴承圈与滚珠轴承之间的摩擦力。倾斜会导致两个轴承圈彼此咬合，让它们动作一致。这样一来，旋转的外圈就带动内圈旋转，从而令Y
8、O-YO球的轮轴旋转。当YO-YO球到达绳子底端时，两个旋转圆片的陀螺运动会使两个轴承圈平行，让它们互相对齐。实现这种结构后，滚珠轴承就能在两个轴承圈之间平稳移动。经过适当润滑的轴承能大大减少两个轴承圈之间的摩擦力。而摩擦力减少，轮轴就更容易旋转，也就能增加悬停时间。若想收回YO-YO球，就用力拉绳子。这会令外圈相对于内圈倾斜，增加轴承的摩擦力。于是轴承装置再次咬合，外圈的旋转带动YO-YO球沿绳子向上回滚。这种装置更利于YO-YO球悬停，但对收回溜溜球却没有多大帮助。4 YO-YO球的自动回收装置在20世纪90年代的溜溜球热潮中，一种新型的自动YO-YO球开始四处兴盛。这种YO-YO球的主要
9、制造商Yomega在广告中称自己的产品为“有大脑的YO-YO球”。的确，这种溜溜球看上去仿佛具有某种程度的智力，因为它们精确知道何时悬停及收回，但所谓“大脑”其实只是一个离心离合器。下列图解可供您了解这种装置的运作方式。 当这种YO-YO球快速旋转时，离合器装置会松开轮轴；在YO-YO球速度减缓时又会重新咬合。这就让YO-YO球在停止转动前自动收回。 与上一节介绍的滚珠轴承YO-YO球一样，这种YO-YO球也不会让绳子直接碰触轮轴。而只是让绳子绕在主轴上。轮轴安装在YO-YO球的两个圆片上，并穿过主轴中间，但主轴和轮轴其实并不相连。然而，在离合装置的作用下，当YO-YO球缓慢旋转时，主轴和轮轴
10、运动会一致。离合装置安放在一个YO-YO球圆片中，它包括两条金属弹簧臂。弹簧臂的一端加重，另一端则连接到YO-YO球上。当YO-YO球静止或缓慢旋转时，弹簧将离合器臂推向主轴，让主轴的旋转带动整个YO-YO球。但当YO-YO球加速时，离心力将离合器臂的加重端朝弹簧向外推。离合器臂松开主轴，于是主轴和YO-YO球的其他部位都独立运动。YO-YO球在刚刚抛出时旋转缓慢。于是离合器咬合，主轴放线时带动圆片旋转。但就在YO-YO球到达绳子底端前，由于旋转速度快，离合器会松开主轴。圆片的角动量让YO-YO球保持旋转，但主轴的速度会减慢。最终圆片的速度也减慢，作用于弹簧臂的离心力也变小。当向外的离心力小于
11、弹簧向内的力时，弹簧臂会紧紧夹住主轴。这会将圆片的旋转运动带回主轴，让主轴重新绕线并回到你的手中。这种玩具的制作工艺比古希腊的陶瓦YO-YO球精巧了很多，但基本魅力丝毫没有退减。YO-YO球之所以一直广受欢迎，正是凭借了它的简单。取一个普通线轴、轻扬手腕，便可将其变成自动旋转的陀螺，这其中有着无法言述的玄妙。无论YO-YO球里添加了多么先进的装置，这个简单的玩具都会是人们的挚爱。5 建立理想模型中轴为一空芯薄壁圆柱,半径为r,质量为m1,中轴两侧为一对薄片圆盘,半径为R,每个圆盘的质量为m2。设溜溜球的整体质量为m,则有m=m1+2m2 (1)溜溜球对通过其质心C的转轴z的转动惯量J为J=m1
12、r+2（m2R/2）=m1r+m2R (2)为了分析方便：假设溜溜球下落的初始速度为Vco=0,初始转速度0=0;假设细绳是完全弹性体(即不考虑球体转向时平动动能的损失);暂不考虑空气的阻尼和细绳的摩擦阻力;忽略细绳的质量。6 进行理论分析YO-YO球的运动可看成整个球体随质心C在垂直方向上的平动和绕通过质心的转轴Z的转动的迭加。如图2所示，rutu假设YO-YO球在“上爬下走”过程中,细绳的张力为T,重力加速度为g,质心加速度为ac,转体所受合外力矩为Mc,角加速度为.由刚体平面运动微积分得,mac=mg-T (3)对于转动由转动定律得,Mc=J=Tr (4)因为YO-YO球在运动过程中仅有
13、转动,所以其质心加速度ac与中轴和细绳切点处的切向加速度at相等,即ac=at.由于at=rB,故有ac=r (5)联立(4)(5)消去,得Mc=Jac/r=T即acJ/r=T (6)把(6)代入(3),整理得ac=g/（1+（J/mr） (7)把(7)代入(5),得= g/（r+（J/mr） (8)如图三所示，根据S=(1/2)at可计算出YO-YO球单程运动所需要的时间t为，t=（2H/ac）=（2H/g）（1+（J/mr） (9)式中H为YO-YO球单程运动的高度。根据v-v0=2as可计算出质心C下落的速度vc为,vc=2acH=（2gh/（1+（J/mr） (10)式中h为YO-YO球下落的高度。因为YO-YO球作纯滚动，所以vc=vt=r,式中vt为中轴与细绳切点处的切向速度, 为溜溜球转动的角速度。故有=vc/r=（2gh/（rping +（J/m） (11)YO-YO球下落过程中作平面运动，动能为，T=(1/2)mvc=(1/2)J (12)把(10)(11)代入(12)得T=(mgh/（1+（J/mr）+（Jgh/（rping +（J/m）=mgh (13)同理，计算YO-YO球上爬过程中的Vc、mvc/2、J/2、W动、W势, 也可由此得到(13
