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1、高中数学教材学习讲义(必修1)人教B版 主编：范忠良第211节 函数天地之间的万物都在时间长河中流淌着,变化着从过去到现在,又从现在到将来静止是暂时的,运动却是永恒的天在动,地在动，世界上的一切量都在随着时间的变化而变化世界上充满着各种变化的量-变量，研究和处理两个变量之间的关系是人类生活、科技发展的需要.那么我们怎样去描述两个变量之间的依赖关系呢?研习教材重难点研习点1函数的定义1函数的概念（重点）函数的传统概念：在某变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域
2、，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做值域从这个概念出发，我们知道可以用函数描述变量之间的依赖关系，并且这种对应关系可以描述为：对于数集A中的每一个x,按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应,记作f：AB函数的近代定义:一般地，我们有：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数（function）记作: y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)
3、| xA 叫做函数的值域（range）定义域、值域与对应关系统称为函数的三要素对函数概念的理解：函数的两个定义从本质上来说是一致的，只是叙述概念的出发点不同在函数的两个定义中，传统定义是以变量的概念为基础的，它生动形象易于接受，所以初中采用了这个定义；近代定义是以集合和对应为基础的，把函数看成数集到数集的一种对应，突出自变量与函数值之间的对应关系，用近代定义解释各种各样的函数都很方便，从而使函数的近代定义更具有一般性例如函数，如果从运动变化的观点来解释这个函数的意义就会非常困难，但用集合、对应的观点来解释，就会十分自然“y=f(x)”仅仅是函数符号，f(x)表示与x对应的函数值，而不是f乘x这
4、里，是自变量，它是法则所施加的对象；是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；是自变量的函数，当为允许的某一具体值时，相应的的值就是与该自变量值对应的函数值，当用解析式表示时，则解析式就是函数的解析式在研究函数问题时，我们除了常用表示函数外，还经常会用到、等符号来表示与的既有联系又有区别,一般而言,表示当时函数的值,是一个常量；而是自变量的函数，在一般情况下，它是一个变量，仅仅是的一个特殊值，例如一次函数，当时，是一个常数对应关系是核心，它是对自变量进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接自变量与变量的纽带按照这一“程序”或“方法”，从集合A任取一个，可得集合
5、中唯一的与之对应同一个可以“操作”于不同的形式的变量，例如是对进行的“操作”，是对进行的“操作”，同样，是对2进行的“操作”等其实由于函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：（1）定义域和对应关系是否给出；（2）根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值【辨析比较】 对应 对应和集合一样,也是一个不加定义的数学概念,现代汉语词典中对“对应”的解释是:一个系统中某一项在性质、作用、位置或数量上与另一系统中某一项相当在数学中，对应是两个集合A与B之间的某种关系，对于A中的每一个元素来说，有以下三种情况：（1）B中有唯一元素与之对应
6、；（2）B中没有元素与之对应；（3）B中不止一个元素与之对应对于B中的每一个元素，也有上述类似情况典例1下列对应关系是集合上的函数是有 （1），对应关系“对集合中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应”；（2），对应关系：；（3）三角形，对应关系“对中三角形求面积与集合Q中元素对应”【研析】由于（1）中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，并且（3）中集合P不是数集，从而知只有（2）正确2函数的定义域（重点）定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数.在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的
7、定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题忽视函数的定义域，我们将“寸步难行”，由此，我们也往往将函数的定义域称之为函数的“灵魂”函数的定义域，就是使给出的解析式有意义的自变量的取值集合，具体来说有以下几种情况：(1)若是整式，则其定义域为全体实数集R；(2)若是分式,则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合；(3)若是偶次根式,则其定义域是使被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合；(4)如果函数是由一些基本初等函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本初等函数定义域的交集；(5)对于复合函数而言:如果函数
8、的定义域为A，则的定义域是使得函数的自变量的取值集合.如果函数的定义域为A,则的定义域是函数的值域；(6)由实际问题列出的函数式的定义域问题,由自变量的实际意义给出.【梳理总结】 求函数定义域的几种常见题型 对函数的定义域的考查主要体现在以下六个方面：(1)求已知函数的定义域；(2)已知原函数的定义域求复合函数的定义域；(3)已知复合函数的定义域求原函数的定义域；(4)已知一复合函数的定义域,求另一方面一复合函数的定义域；(5)求实际问题或几何问题的定义域；(6)已知函数的定义域求参数的取值范围典例求下列函数定义域(1)；【研析】(1)由题意知,故的定义域是.(2)由且,得且,故的定义域是.(
9、3)由且,得且,故的定义域是.3相等函数的判断（难点）由函数的定义可知，一个函数构成的三个要素是：定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）.两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.典例下列说法中正确的个数为( )A.与表示同一个函数B. 与不可能是同一函数C.与表示同一函数D.定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数【研析】A 两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关,判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同.研习点2区间的概念
10、1区间的分类设是两个实数，而且我们规定：（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为这里的实数与都叫做相应区间的端点，其中实数叫做区间的左端点，实数叫做区间的右端点，叫做区间的长度.2区间的数轴表示在数轴上，区间可以用一条以和为端点的线段来表示，在图中用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.定 义名 称符 号数轴表示3无穷大的概念 实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”.这里应该注意“”是一个符号而不是一个数.用，
11、作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间，这样我们就可以把满足，的集合分别用区间表示出来了，如下表所示：定 义符 号【探究发现】 区间意义与使用规则 区间是集合的另外一种表示方法，这样某些以实数为元素的集合就有三种表示方法（1）集合表示法；（2）不等式表示法；（3）区间表示法.例如:大于1小于2的实数的集合可以分别表示为如下的三种形式:,至于用哪一种形式,可根据习惯或简明的原则来选取用.另外,在用区间表示集合时应注意区的使用规则:(1)区间的左端点必须小于其右端点;(2)区间中的元素都表示数轴上的点,可以用数字表示出来;(3)任何区间均可在数轴上表示出来;(4)以“”或“”为区间的一端点时，这一
12、端必须是小括号. 研习点3函数的值域(难点)函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域.直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0时，值域为.配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；分式转化法（或改为“分离常数法”）换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；数形结合：根据函数的几何图
13、形，利用数型结合的方法来求值域.典例4 求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【研析】（1）（配方法），的值域为.（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为.又，故，的值域为.（3）分离变量法：，函数的值域为.（4）换元法：设，则，原函数可化为，原函数值域为.（5）数形结合法：，函数值域为.（6）判别式法：恒成立，函数的定义域为.由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为.探究解题新思路 基础思维探究题型一 函数的概念典例1如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量的对应关系，其中表示是的函数关系的有 【研析】由函数定义可知，任意
14、作一条直线，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当时，直线与函数的图象仅有一个交点，当或时，直线与函数的图象没有交点从而表示是的函数关系的有（2）（3）探索发现 应紧扣函数的定义，只需画出与轴垂直的直线，若仅有一个交点，则表示函数关系，若有两个或两个以上，就不是函数关系【拓展变式】1函数的图象与直线的交点的个数为（）必有个个或个至多个可能个以上题型二 函数的定义域典例2求下列函数的定义域（1）；（2）；（3）.【研析】(1)使分式有意义的实数的集合是,从而函数的定义域是.(2)使根式有有意义的实数的集合是,从而函数的定义域是.(3)使根式有意义的实数的集合是,使分式有意义的实数的集合是.所以函数的定义域是:=.反思领悟 求函数的定义域往往需要将问题转化成解不等式或不等式组的问题，最后再将它们正确合并，定义域的表达形式可以是集合形式，能用区间表示时也可以用区间表示再者，求定义域 的基本原则是解析式不化简.例如求函数的定义域时，不能将其化简成，否则所求的定义域的范围将扩大.【拓展变式】2求函数的定义域题型三 函数的值域典例3已知函数f(x)=x2
