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1、 空间直角坐标系与矢量代数 原点到定点两点间的距离：， 两定点间的距离： 点将已知线段分为定比，求点的坐标：，中点为， 零矢量方向为任意。 两矢量相等：长度相等、平行、方向相同 矢量的加法适用于交换律、结合律。 矢量与数量的乘法：矢量A乘以数量m等于矢量A的模乘以数量|m|，积与矢量A方向平行，如果m为正，则方向与A相同，如果m为负，则方向与A相反。适用分配律、交换律、结合律。 矢量在任何轴上的投影等于矢量的模乘以轴与矢量间的夹角的余弦，记作；一矢量与其投影轴成锐角时，矢量的投影为正，成钝角为负，成直角为零。 相等的矢量在同一轴上的投影相等。 有限个矢量的和在任何轴上的投影等于各个矢量在同轴上
2、的投影的和。 矢量在三坐标轴的投影X、Y、Z叫矢量A的坐标记作A=X，Y，Z。 矢量的模的平方等于它在坐标轴上各投影的平方的和。 矢量与坐标轴的夹角的余弦叫矢量的方向余弦：，任何矢量的方向余弦的平方和恒等于1：与方向余弦成比例的一组实数为矢量的方向数：。 两矢量的数量积等于两矢量的模和它们间的角的余弦的积。记作： ：两矢量的数量积等于其中一矢量的模和另一矢量在这矢量的方向上的投影的积。 当且仅当两矢量之一为零矢量或两矢量垂直时，它们的数量积才为零。两矢量垂直的充分必要条件是它们的数量等于零。 矢量的数量积具有分配律、交换律和结合律。 两矢量垂直的充分必要条件为： 两矢量的夹角的余弦等于它们的数
3、量积与模的乘积之商：，用坐标表示则为：，用两矢量的方向余弦表示则为： 矢量的矢量积：两矢量A，B的矢量积C的模在数值等于以两矢量A，B为两边的平等四边形面积；矢量的矢量积C的同时垂直于两矢量A，B；矢量C的正方向按照“右手法则”确定。矢量积记作C=AB。 矢量积的性质： 当且仅当两矢量之一为零矢量或两矢量平行时，其矢量积为零； 矢量积对于因子对调要改变符号，即AB= -( BA)，不具备交换律； 矢量的矢量积与数量相乘有结合律，即(A)B=( AB)； 矢量的矢量积具有分配律，即(A+B)C= AC+ BC； 矢量积的坐标表示法： ；故两矢量平行的充分必要条件为AB=0，即； 矢量的混合积：先
4、作二矢量A和B的矢量积AB，再与第三个矢量C作数量积为混合积，记作。 轮序置换三矢量混合积的三个因子，其积不变，对调两个相邻的因子，要改变符号，即； 矢量的混合积=是这样的一个数，它的绝对值表示以矢量为棱的平行六面体的体积，如果矢量组成右手系，那末积的符号为正，组成左手系，积的符号为负。 曲面方程与曲线方程 球面方程：。 母线平行于坐标轴的柱面方程(二次曲面不含立标)： 圆柱面方程：(为圆柱半径) 椭圆柱面方程： 双曲柱面方程： 抛物柱面方程： 空间曲线作为两曲面的交线：设和为两个曲面方程，它们的交线为，则方程组，为L的方程。 空间曲线的参数方程： 螺旋线：(其中：为螺旋线上升的角度，为螺旋线
5、绕立轴旋转的角度，螺距) 空间曲线在坐标面上的投影：曲线L方程组，消去变量后所得方程，即为L在平面投影的方程。 空间的平面与直线 若一矢量(非零矢量)垂直于一已知平面，则矢量为平面的法线矢量。点法式方程：或 任何平面可用的一次方程来表示 的一次方程表示一个平面，其中常数，且不同时为零。 平面一般方程 若时变成表示通过原点的平面。 若时变成表示平行(或通过)轴的平面。 若时变成表示平行(或重合于)面的平面 平面的截距式方程：(其中分别为平面在轴上的截距) 点到平面的距离：平面的一般式方程与平面外一点的距离 两平面间的夹角等于两平面法线矢量间的夹角两平面垂直的充分必要条件是两平面平行的充分必要条件
6、是 直线作为两平面的交线(空间直线)的一般方程：空间直线的投影式方程：(各为常数)。 直线的矢量式方程：(是直线的方向矢量，为参数)直线的参数方程：直线的标准方程：(为直线的方向数)将直线一般方程转成标准方程： 两直线的标准方程为：、夹角 两直线垂直的充分必要条件是 两直线平等的充分必要条件为 直线方程为，平面方程为，则直线与平面的夹角： 直线与平面垂直的充分必要条件： 直线与平面平行的充分必要条件： 直线方程为，平面方程为，设直线方程的比值为，则得，代入平面方程中，得： 若，则得，求得平面与直线交点坐标 若，则直线与平面平行，且无交点。 若，则直线与平面重合。 二次曲面 椭球面：方程为 若则
7、方程变成，表示一个由椭圆绕短轴旋转而成的扁旋转椭球面。 若则方程变成，表示一个由椭圆绕长轴旋转而成的长旋转椭球面。 若则方程变成，表示一个以原点为中心，以为半径的球面。 单叶双曲面，方程为：，其中为双曲面的半轴。仅以为例： 平面截得的截痕为一椭圆，平行于平面的平面截得的截痕也为一椭圆； 平面截得的截痕为一双曲线，平行于平面的平面截得的截痕也为一椭圆； 平面截得的截痕为一双曲线，平行于平面的平面截得的截痕也为一椭圆 若，叫单叶旋转双曲面。 双叶双曲面，方程为仅以为例： 平面与此面不相交，平行于平面的平面，只有当才能相遇，时截痕为一双曲线；=时截痕为一对点，叫顶点。 平面或平行于平面的平面()截痕
8、为一双曲线。若时叫双叶旋转双曲面。 椭圆抛物面，方程： 坐标面切曲面于原点；()截曲面为一椭圆，()不曲面不相交。 坐标面()切曲面为抛物线：；平行于，截曲面为抛物线：。坐标面()及平行于，截曲面亦为抛物线。 若，方程变成，表示由抛物线旋转而得，叫旋转抛物面。 双曲抛物面：方程：(同号)亦叫鞍形双曲面。 坐标面截痕为一对相交于原点的直线：，；平行于的平面()截曲面于双曲线，当，它的实轴与轴平行；当，它的实轴与轴平行。 坐标面截痕为抛物线：；平行于平面()截痕亦为抛物线：。 坐标面及平行于平面()截痕亦为抛物线， 二次锥面 由二次齐次方程，确定的曲面；以为例，若，方程变成，表示以轴为旋转轴的旋转锥面。7
