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1、第八章 分离变量法对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x、t两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。特点：（1）数学上解的唯一性来做作保证。（2）物理
2、上由叠加原理作保证。例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题）令这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u有两个变量，但对于X、T都只有一个变量）变形得= 左边与t无关，右边与x无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。由于x, t 是相互独立的变量，上式必然等于同一常数。方程左边为关于x的函数，方程右边为关于t的函数，只有当左右两边
3、都等于常数的时候才成立令其为（得到的两个常微分方程形式比较标准） 得到两个常微分方程第三步：代入边界条件得到： ，由于是t0得值，是一个范围内不固定的值，所以 常微分方程含，未知，需要对进行讨论， 特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程子一定条件下的求解问题。特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解第四步：确定特征值并得到它的特征函数分情况讨论：1）0时, 特征方程为,特征根为：得通解为（A、B为待定系数）把定解条件 代入通解得到A+B=0于是A=B=0即=0则=0，零解无意义即0时, 令（为非零实数）特征方程为,特征根为虚数：i通解为（A、B为待定系数）把定解条件，代入通解得到A =0，
4、即得到在B0的情况下，有=0，即（n=1,2,3，注意n0，若n=0，则=0，而为非零实数）现在就完成了用分离变量法求解X（x）的部分，得到特征值为，所对应的特征函数为：下面求解关于t的常微分方程，将代入，这种情况的通解与的0的情况相同。即 （ n=1,2,3，）至此，所以定解问题的n个特解（这n个特解均满足边界条件）为：= （ n=1,2,3，）根据叠加原理，特解的叠加仍是方程的解，所以得到通解=（ n=1,2,3，）其中为待定系数（利用初始条件求解）第五步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数正是傅里叶正弦级数，、是傅里叶系数。利用三角函数的正交性（mn）得到：于是得到：同理，回顾整个求
5、解过程，可作出分离变量法流程图2. 解的性质=-方程的特解（前面是关于t的函数，后面是关于x的函数）=其中：，当时，=-弦上确定的一点以频率做振动（弦上某点的振动方程）。当时，=-某一时刻，特解为正弦函数的形式，所有点的位置，波动方程（驻波的方程），每个特解代表一个驻波，因此分离变量法又称为驻波法。标准的驻波方程：的（驻波）波长为（n=1,2,3，）频率：波速：3. 分离变量法概要：（1）作分离变量假设，代入方程和边界条件中得到固有值问题（2）确定固有函数和固有值（3）写出定解问题的特解（4）将特解叠加无，给出通解（5）用初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）4. 回顾整体思路：初始条件 定解问
6、题 边界条件将假设代入方程，此偏微分方程得到两个常微分方程 。将边界条件代入，得到、，求解已知定解条件的常微分方程的特征值为，特征方程，求解的特征函数，所以=。根据叠加原理，特解的叠加是方程的通解，所以得到：=，将初始条件代入，求解待定系数（傅立叶展开）。分离变量法的适用条件：任何二阶线性（齐次）偏微分方程例一：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速度为零，初位移为，求弦做微小横振动时的位移。解：设，代入得到： 得到本征值问题：，经讨论时，有非零解，n=1,2,3，得到特征值： 得到特征方程：于是：，其解为=将初始条件运用分部积分法求解 =，故=0.所以=例二：解：设，代入得到： 得到本征值问题：，经讨论，（A、B为待定系数）把定解条件 代入通解得到A+B=0于是A=B=0即=0=0时, ，有，A=B=0即=0时， 所以 n=1,2,3，写出特征值和特征函数，变为，所以=所以=由初始条件确定Cn、Dn。，Dn=0=附录1：二阶常系数微分方程：特征方程：根的三种情况得到常系数微分方程的通解：附录2：线性方程满足叠加原理。线性齐次方程（只含未知量的一次项，无零次项）通解为所有线性无关特解的叠加；而线性非齐次方程通解为其特解与相应齐次方程（去掉零次项后的线性方程）通解的叠加。附录3：和差化积公式cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
