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1、例 9-1 具有饱和非线性元件的非线性控制系统如图9-20所示，（1）当线性部分=5时，确定系统自振荡的幅值和频率。（2)确定系统稳定时，的临界值。Ks(0.1s+1)(0.2s+1)12c图9-20 例9-1的系统结构图解 1.在复平面上分别绘制-1/曲线和曲线。饱和非线性特性的描述函数为（）由于非线性特性可知K=2，a=1，将a和K代入上式，则得负倒数描述函数Re0-1/N(A)Im-0.5K=7.5K=15G(j)图9-21 例9-1的奈氏图因饱和特性为单值特性，和-1/为实函数。当=1时，-1/ =-1/2。-1/ 曲线示于图9-21。由解得，代入求得，则（-1，j0）点为曲线与负实轴
2、的交点，亦是-1/ 和的交点，如图9-21所示。因-1/ 穿出，故交点为自振点。自振频率, 自振振幅由下列方程解出用试算法或作图法解得=2.47。2.-1/ 与的不相交，即-1/2时，系统退出自振。=-1/2时的值为临界放大倍数。解得 =7.5。例9-2 非线性系统的结构图如图9-22所示，用描述函数法判断该系统的稳定性。1s(s+1)(s+2)c图9-22 例9-2的系统结构图解 1.求非线性部分的描述函数设，则；因此是奇函数，故有，其中非线性部分的描述函数为2.判断系统的稳定性描述函数的相对负倒数特性为 当=0时，-1/ =-0。-1/ 曲线示于图9-23，为整个负实轴。由Im-1/N(A
3、)Re0ReM=0G(j)图9-23 例9-2的和曲线解得，代入求得，则（-0.167，j0）点为曲线与负实轴的交点，亦是-1/ 和的交点，如图9-30所示。其振幅由下列方程解出解得。因-1/ 穿入，故交点为发散点。当时，系统稳定；当时，系统不稳定。460s(0.01s+1)(0.0025s+1)bc图9-24 例9-3的系统结构图例9-3 非线性系统的结构图如图9-24所示，其中死区继电特性的参数=1.7，=0.7，试确定系统是否存在自振荡，若有自振荡，求出自振的幅值和频率。（）解 1.继电特性的描述函数为其中，为比例系数，为该继电特性的相对描述函数；该死区继电特性的相对负倒数描述函数为M1
4、-1/N(A)ReIm0Re=M2-1.57G(j)图9-25 例9-3的和曲线因此，当=时，。存在一个最大值，其最大点和最大值为该死区继电特性的相对负倒数描述函数曲线示于图9-25，曲线重合于实轴，为了清晰起见，画成了双线。2.系统线性部分的频率特性为令，解得与负实轴的交点对应频率。从曲线上求出与曲线交点、 处自振振幅，即令解得，交点处的，交点处的；故交点处的振幅为，交点 处的振幅为。点对应的周期运动是不稳定的，点是发散点；点对应的周期运动是稳定的，点是自振荡点，所以系统自振的幅值为，频率为。例8-1 非线性系统的及的轨迹如图8-2所示，试判断该系统是否稳定。 图8-2 非线性系统框图 图8
5、-3 非线性系统框图解：因为由图可知，曲线包围了曲线，所以不论幅值如何变化，该非线性系统都是不稳定的。 例8-2非线性系统的及的轨迹如图8-3所示，试判断该系统有几个点存在自振荡。解：因为由图可知，在复平面上曲线与相交，系统可能发生自持振荡。图中曲线沿箭头方向由稳定区经交点P进入不稳定区，所以P点不存在自持振荡；而曲线沿箭头方向从不稳定区经交点Q进入到稳定区，所以交点Q处存在自持振荡。例8-3 具有理想继电型非线性元件的非线性控制系统如图8-4(a)所示，试确定系统自振荡的幅值和频率。图8-4(a) 非线性控制系统结构图解：（1）在复平面上分别绘制曲线和曲线。绘制曲线：由理想继电型非线性特性可
6、知由图8-4(a)的系统结构图知，则得负倒数描述函数：当从变化时，曲线起始于坐标原点，并随着幅值的增大沿着复平面的复实轴向左移动，终止于，如图8-4(b)所示。绘制曲线： 由于与实轴相交： ，解得： ，代入求得：图8-4(b) 与 则曲线示于图8-4(b)。 （2）确定系统自振荡的幅值和频率：由图8-4(b)可见：点为曲线与负实轴的交点，亦是和的交点。因穿出，故交点为自持振荡点。自振频率,自振振幅由下列方程解出：，即，例8-4非线性系统的及的轨迹如图8-5所示，(该非线性系统相对负倒数描述函数曲线重合于实轴，为了清晰起见，画成了双线)。其中交点处的振幅为，交点处的振幅为，频率为。试确定系统是否
7、存在自持振荡，若有自持振荡，求出系统自持振荡的幅值和频率。解： 的轨迹与曲线相交，则系统的输出有可能产生自持振荡。在交点处，曲线沿箭头方向从稳定图8-5 非线性系统 区进入了不稳定区， 点产生的自持振荡就是不稳定的；而在交点处，曲线沿箭头方向是由不稳定区进入到了稳定区，故在该交点处产生的自持振荡是稳定的； 即点是自振荡点，所以系统自持振荡的幅值为，频率为。 四.习题8-1 如图8-6所示的非线性系统，非线性部分的描述函数为（M=1），线性部分的传递函数为，试用描述函数法讨论： (1)该系统是否存在稳定的自持振荡点。(2)确定其自持振荡的幅值和频率。 图8-6 非线性控制系统框图8-2 非线性系
8、统如图8-7所示， (1)该系统是否存在稳定的自持振荡点。(2)确定其自持振荡的幅值和频率。图8-7 非线性控制系统框图8-3 非线性系统及的轨迹如图8-8所示，试判断该系统有几个点是稳定的自持振荡点。 图8-8 非线性系统图四、应用描述函数分析非线性系统的举例【例7-1】 如图7-24所示非线性系统，其中死区继电特性的参数，。试问该系统是否存在自振，若存在自振，求出自振的振幅和频率。解 死区继电特性的描述函数式（7-13），即 将表示成相对描述函数 令 相对负倒描述函数式（7-18），即 在复平面上分别作出及曲线。给定和一系列数值，可算出及值如下：1201501802002503004002
9、.351.61.130.90.60.40.25.73.92.752.231.400.940.49根据上述数据，分别绘制曲线和曲线，如图7-25所示。图中曲线在时取最大值（这一点可由对求导来计算）。而在和时的曲线与负实轴完全重叠，只是重叠点所对应的振幅不同。为了清楚起见，图7-25中画成两条直线，对应于由（即0.707）及由，曲线上箭头表示增加方向，亦即减小的方向。由图可见，与曲线有两个交点，从曲线看，交点频率为；从曲线看，交点对应为0.92及0.38，相应的则分别为0.757及1.84。这说明系统存在着两个频率相同，但振幅不同的周期运动。根据判别周期运动稳定性的方法即可判定：振幅伪0.75的周
10、期运动是不稳定的，振幅稍有衰减，则逐渐收敛到死区内，最终系统保持静止状态；或振幅稍有增加，则逐渐发散到大振幅（1.84）的周期运动状态，而大振幅的周期运动是稳定的，即为系统的自振点。因此，该系统存在自振，自振频率，自振振幅。为了消除自振，可以改变使它与曲线不相交，最简单的办法是减小线性部分的开环增益。若系统稳态误差要求不允许减小开环增益时，可采取其他措施，如在系统中串联适当的相角超前环节来实现。【7-2】系统结构如图7-26所示，已知、，试判别系统是否存在自振，若有自振，求出自振振幅及频率。 解 具有滞环继电特性的描述函数式（7-14）即 相对描述函数为 令，则相对负倒描述函数为 可见其虚部为
11、常数。再以为自变量从开始，算出的一系列数值。同时也对线性部分计算出实部和虚部，计算值如下表所示：根据上列数据作出与曲线，如图7-27所示。由图可见，两条曲线有一个交点，根据稳定性分析可知，该点为自振点，自振频率为，振幅为。【例7-3】 具有间隙非线性特性的系统如图7-28所示。已知。试分析系统是否存在自振，若有自振，求出自振参数。解 根据间隙非线性特性的描述函数式（7-15），可求得的计算值如下表所示。X0.6250.831.252.552.381.541.18系统线性部分的频率特性 则的实部和虚部计算如下表所示。12345610-10.7-3.18-1.75-1.24-0.96-0.59-0.45-7-3.36-2.13-1.5-1.1-0.86-0.35由图可见，两条曲线有一个交点。由稳定性分析可知，该点为自振点，自振参数，。
