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1、二次函数实践与探索拱桥问题教学设计长春市第七十二中学 贾丹一、教学目标：知识与技能：1、通过拱桥问题情境的分析会确定适当的二次函数解析式.2、根据二次函数解析式会进行坐标变换。过程与方法：1、经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，体会由二次函数建立数学模型的方法，获得利用数学方法解决实际问题的经验2、由抛物线形拱桥问题拓展到同类题型，体会题目之间的内在联系。提炼解决这一类型问题的一般步骤。3、通过对拱桥的学习和探究，渗透转化及数形结合的数学思想方法。情感态度价值观：体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值增进对数学的理解和学好数学的信心二、重点与难点教学重点：1二次函数解决实际问题时
2、应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。2根据平面直角坐标系能够确定适当的二次函数解析式。教学难点：1根据解析式进行坐标变换，2利用解决这类问题的通法解决相关的实际问题。三、教学过程：（一）情境引入：首先播放一段多米诺视频，观看视频时向学生简单介绍多米诺的知识后，对学生说：我们感受多米诺骨牌倒下带给我们的震撼时，不禁要想，轻轻推到一张骨牌就可以产生如此巨大的力量来推到许许多多的骨牌，并产生惊人的效果，那么我们在学习中会不会有这样一张王牌，有这样的一道题，解决了这道题就相当于解决十道，二十道，甚至更多的难题呢？我们今天要共同学习的二次函数实践与探索拱桥问题，我给他起了个名字叫：拱桥多米诺，就是想通
3、过拱桥问题的学习使之成为我们今后学习这类题型的王牌，推到了这张牌就可以产生多米诺现象，就可以轻松解决同类型的问题，同学们准备好了吗？那让我们推到第一张牌吧！（二）知识探究1、我思考、我探究例1一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得，当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m，这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少米？学生独立审题，然后独立完成试题，有一名学生板演，并由这名学生讲解，然后，学生为黑板上的解题步骤诊断问题，再由教师补充同时更正教师提出问题：DE的宽度是否会超过1m？为什么？教师改编第1题：将平面直角坐标系改变位置，以AB所在直线为x轴，以A点为坐标原点 图1
4、 图2看图1提出问题：谁可以快速说出抛物线解析式吗？为什么？（抛物线的形状不变，所以a的值不变，又知道顶点坐标，所以很容易写出顶点式）看图2提出问题：在对称轴的右侧0.2米处的点M对应的拱璧到水面的距离是多少？怎么求？说出思路不必求解，再次提出问题：在拱璧上到水面的距离为2米的点有几个？（2个）到水面的距离为2.4米的点有几个？（1个）到水面距离3米点有几个？（没有）教师提出问题：通过这道题的学习我们对拱桥问题有所了解，那么解决拱桥问题的一般流程是什么？学生回答，教师补充纠正，使语言更加严密（设适当的解析式形式代入已知点的坐标求出抛物线的解析式根据解析式进行坐标变换）我们轻松解决第1题而且还收
5、获了解决这类题型的一般流程这张王牌，那么能不能顺利的推到第二张牌呢？请同学们看第2题：2我巩固、我提高出示第二个题目，将拱桥的背景去掉，换为横截面呈抛物线形的储藏室，根据拱桥问题总结的一般步骤转而解决同类型的其他实际问题。例2如图，某地下储藏室横截面呈抛物线形，已知跨度AB=6米，最高点C到地面的距离CD=3米（1）建立适当的平面直角坐标系，并确定抛物线解析式；（2）要在储藏室内存放棱长为1米的立方体货箱，计算第二行最多能摆放多少个货箱？学生独立完成，学生板演，学生诊断，书写步骤的问题，教师补充教师强调在解题过程中要写出建立平面直角坐标系的过程，然后提出问题建立平面直角坐标系的方式唯一的吗？，
6、能说说其他的建系方式的优点和缺点吗？第2题也可以用同样的流程解决，也就是用这张王牌，顺利推到第二张牌，但我们解题中并不会都带有实际背景，当我们把题目中的华丽外表去掉时，这样的第三张牌能不能被推倒呢？3我拓展、我丰富出示第3题，将拱桥问题的实际背景去掉，进一步深化理解和运用坐标变换的基本思想和方法来解决动态问题。例3如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边DE落在x轴的正半轴上，边AG落在y轴的正半轴上，A、B两点在抛物线上（1）写出点B的坐标（2）求抛物线的解析式（3）将正方形CDEF沿x轴向右平移，使点F落在抛物线上，求平移的距离学生独立完成，不必板演
7、，学生口述解题过程教师提出问题：仿照第3问的问法编一道题，和平移有关，最好是多解的问题，大家动动脑筋，看看谁设计的合理又巧妙（学生编题，不必求解，只解释解题方法）我们的王牌不但能解决类似的题型，而且经过我们的奇思妙想又创造了更多的同类题型，并得到解决，就仿佛推到多个骨牌产生了意想不到的效果如果这张王牌可以推倒如此多的问题，我们最希望他能推倒什么样的问题？（中考）你有信心推倒中考这张牌吗？好！那就让我们走进中考4走进中考在探究拱桥问题与二次函数的关系的过程中，多数问题的抛物线的开口方向都是向下的，但根据我们总结的一般流程，和这种坐标变换的方法也可以解决抛物线开口向上的同类型问题。同时坐标变换时，
8、也由坐标是已知数变为用字母参数来表示数的形式。 例4（2011长春市）如图，平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A、P为抛物线上一点，且与点A不重合连结AP，以AO、AP为邻边作OAPQ，PQ所在直线与x轴交于点B设点P的横坐标为m（1）点Q落在x轴上时m的值；（2）若点Q在x轴下方，则m为何值时，线段BQ的长取最大值，并求出这个最大值学生独立完成，口述答案，教师纠正5总结收获：学生谈谈收获：1、解决拱桥问题的一般流程。2、坐标变换时要注意坐标所在象限来确定横、纵坐标的符号3、解决这类问题时，不要忽视二次函数性质的运用，如二次函数的对称性，最值，二次函数解析式的确定的方法多米诺效应产生的能量是巨大的，不但能推到同样大小的骨牌，甚至可以推到比自身大很多的骨牌，虽然平时的学习显得微不足道，但是对于我们的整个学习过程来说，就如同一个巨大的多米诺系统，哪个环节，哪处细节，出了问题都会影响到最终能否成功，所以我们就要认真对待学习中的每一节课、每一道题、每一个细节，就能帮助我们推到一个个难题，最后中考这座大山也能够被我们征服！
