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1、第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。教学内容： 一、罗尔定理1. 罗尔定理几何意义：对于在上每一点都有不垂直于轴的切线，且两端点的连线与轴平行的不间断的曲线来说，至少存在一点C，使得其切线平行于轴。 C A B从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理费马引理 设函数在点的某邻域内有定义, 并且在处可导, 如果对任意, 有 (或), 那么.
2、证明：不妨设时，（若，可以类似地证明）.于是对于,有, 从而当时, ; 而当时, ;根据函数在处可导及极限的保号性的得 所以, 证毕.定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理 如果函数满足：（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即, 那么在内至少在一点 , 使得函数在该点的导数等于零，即. 证明：由于在上连续，因此必有最大值M和最小值，于是有两种可能的情形：（1），此时在上必然取相同的数值M，即由此得因此，任取，有（2），由于，所以M和至少与一个不等于在区间 端点处的函数值.不妨设(若,可类似证明),则必定在有一点使. 因此任取
3、有, 从而由费马引理有. 证毕例1 验证罗尔定理对在区间上的正确性解 显然 在上连续，在上可导，且, 又, 取,有.说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个.例如 在上除不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间内找不到一点能使.例如 除了点不连续外，在上满足罗尔定理的一切条件，但在区间上不存在使得的点 例如除了外，在上满足罗尔定理的一切条件，但在区间上不存在使得的点 又例如满足定理的一切条件，而2罗尔定理的应用罗尔定理1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式.例2 证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证明：设
4、, 则在上连续，且由介值定理存在使, 即为方程的小于1的正实根.设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件, 所以至少存在一个（在之间）使得.但, 矛盾, 所以为方程的唯一实根.拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面）.二、拉格朗日（Lagrange）中值定理1.拉格朗日中值定理在实际应用中，由于罗尔定理的条件（3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。如果将条件（3）去掉，就是下面要介绍的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数满足（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, 那么在内至少有一点, 使得等式成立. 几何意义:上述等式可变形为，等式右端为弦AB的斜率, 于是
5、在区间上不间断且其上每一点都有不垂直于轴切线的曲线上，至少存在一点C，使得过C点的切线平行于弦AB. 当时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理证明拉格朗日中值定理. 分析与证明：弦AB的方程为 曲线减去弦AB，所得曲线AB两端点的函数值相等. 作辅助函数于是满足罗尔定理的条件，则在 内至少存在一点，使得.又, 所以即在内至少有一点，使得.证毕说明: 1. 又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）, 此公式对于也成立;2拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设在上连续,
6、在内可导时, 若 , 则有当时, 也可写成试与微分比较: 是函数增量的近似表达式, 而是函数增量的精确表达式. 所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式, 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.推论 若函数在区间I上导数恒为零，则在区间I上是一个常数.2. 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式.例3 证明证明：设由于 , 所以又 , 即.故. 例4 证明当时, 证明: 设, 则在上满足拉氏定理的条件于是又, 于是 而, 所以, 故从而 , 即三、柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点,
7、使等式成立几何解释: 设曲线弧C由参数方程()表示, 其中为参数. 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C上必有一点 , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB, 曲线C上点 处的切线的斜率为, 弦AB的斜率为. 于是, 即在曲线弧AB上至少有一点,在该点处的切线平行于弦AB.证明: 作辅助函数则满足罗尔定理的条件，于是在内至少存在一点，使得, 即, 所以.证毕特别地 当时, 由 有 即, 故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.例5 设函数在上连续,在内可导,证明:至少存在一点，使证明与分析: 结论可变形为设，则在上满足柯
8、西中值定理的条件于是至少存在一点，使所以至少存在一点，使即四、 小结 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广; 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 注意中值定理成立的条件.五、作业 作业卡: P24P27第二节 洛必达法则教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求型和型以及型未定式的极限的方法; 了解型极限的求法.教学重点：洛必达法则.教学难点：理解洛必达法则失效的情况, 型的极限的求法.教学内容： 一 型和型未定式的解：法洛必达法则定义：若当（或）时，函数和都趋于零(或无穷大)，则极限可能存在、也可能不存在，通常称为
9、型和型未定式. 例如 , (型); , (型).定理：设 (1)当时, 函数和都趋于零;(2)在点的某去心邻域内,和都存在且;(3) 存在(或无穷大),则定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则证明: 定义辅助函数, 在内任取一点, 在以和为端点的区间上函数和满足柯西中值定理的条件, 则有 , (在与之间)当时,有, 所以当, 有 故. 证毕说明: 1.如果仍属于型, 且和满足洛必达法则的条件,可继续使用洛必达法则, 即; 2.当时, 该法则仍然成立, 有; 3.对（或）时的未定式，也有相应的洛必达法则; 4. 洛必达法则是充分条件; 5. 如果
10、数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.例1 求, (型)解 原式= 例2 求, (型)解 原式= = 例3 求 , (型)解 原式=1例4 求 , (型).解 原式= = =1例5 求 , (型)解 原式= = = = 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例6 求解 原式= = =二型未定式的求法关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型型和型.1型未定式的求法步骤：或例7 求 型解 原式=步骤：例8 求 型解 原式=步骤： 例9 求 型解 原式=例10 求 型解 原式=例11 求 型解
11、 由于而 所以 原式=注意：洛必达法则的使用条件例12 求解 原式=极限不存在 （洛必达法条件不满足的情况）正确解法为 原式=例13 求解 设，则 因为=从而 原式=三小结1 洛必达法则是求型和型未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能使用。因此在实际运算时，每使用一次洛必达法，必须判断一次条件。2 将等价无穷小代换等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用，可简化计算。3 洛必达法则是充分条件，当条件不满足时，未定式的极限需要用其他方法求，但不能说此未定式的极限不存在。4 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.四作业 作业卡: P2
12、8P30第三节 泰勒公式教学目的：理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式。教学重点：泰勒中值定理。教学难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用。教学内容： 一、泰勒(Taylor)中值定理的引入 对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用一些简单的函数来近似表达. 由于用多项式表示的函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值, 因此我们经常用多项式来近似表达函数. 在微分的应用中已经知道, 当很小时, 有如下的近似等式: , 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 但是这种近似表达式还存在着不足之处: 首先是精确度不高, 这所产生的误差仅是关于的高阶无穷小;
13、其次是用它来作近似计算时, 不能具体估算出误差大小. 因此, 对于精确度要求较高且需要估计误差时候, 就必须用高次多项式来近似表达函数, 同时给出误差公式. 设函数在含有的开区间内具有直到阶导数, 现在我们希望做的是: 找出一个关于的次多项式来近似表达, 要求与f(x)之差是比高阶的无穷小, 并给出误差的具体表达式. 我们自然希望与在的各阶导数(直到阶导数)相等, 这样就有 , 于是, , , , . 按要求有, , , , 从而有, , , , ,，即 (). 于是就有. 二、泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数, 则当在内时, 可以表示为的一个次多项式与一个
14、余项之和，即其中(介于与之间).证明：由假设,在内具有直到阶导数,且两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得(介于与之间)两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得(介于与之间), 此下去,经过次后,得 所以则由上式得(介于与之间). 证毕说明：1这里多项式.称为函数按的幂展开的次近似多项式, 公式2称为按的幂展开的阶泰勒公式, 而R n(x)的表达式3(介于与之间)称为拉格朗日型余项. 4当时, 泰勒公式变成(介于与之间)拉格朗日中值公式, 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 5如果对于某个固定的, 当在区间内变动时, 总不超过一个常数M, 则有估计式及.可见, 当时, 误差是比高阶的无穷小, 即
