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1、第三章 二维随机变量及其分布知识网络图主要内容 一、 二维随机变量定义1 设随机试验的样本空间为, 为样本点，而是定义在上的两个随机变量, 称为定义在上的二维随机变量或二维随机向量. 二、 二维随机变量的分布函数1.联合分布函数定义2 设是二维随机变量, 对任意实数, 二元函数称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数.联合分布函数的性质:（1） 且对任意固定的 对任意固定的(2) 关于和均为单调非减函数, 即对任意固定的 当对任意固定的 当(3) 关于和均为右连续, 即 （4）2.边缘分布函数对的边缘分布有：对的边缘分布有： 三、 二维离散型随机变量及其概率分布1.离散型随机变
2、量的联合分布律定义 若二维随机变量只取有限个或可数个值, 则称为二维离散型随机变量. 结论：为二维离散型随机变量当且仅当均为离散型随机变量.若二维离散型随机变量所有可能的取值为 则称为二维离散型随机变量的概率分布(分布律), 或的联合概率分布(分布律).与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表: 2. 离散型随机变量的边缘分布的分布律的分布律为：的分布律为： 四、二维连续型随机变量及其概率密度1.联合概率密度定义 设为二维随机变量,为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函数, 使对任意实数, 有则称为二维连续型随机变量, 并称为的概率密度(密度函数), 或
3、的联合概率密度(联合密度函数).概率密度函数的性质: (3) 设是平面上的区域,点落入内的概率为(4) 若在点连续, 则有 2.边缘概率密度是连续型随机变量, 且其密度函数为:同理,是连续型随机变量, 且其密度函数为:,分别称和为关于和的边缘密度函数. 五、二维均匀分布设是平面上的有界区域,其面积为.若二维随机变量具有概率密度函数则称在上服从均匀分布. 六、二维正态分布若二维随机变量具有概率密度其中均为常数,且,则称服从参数为的二维正态分布.七、条件分布1.离散型随机变量的条件分布定义：设二维离散型随机变量的分布律为，的边缘分布律为：的边缘分布律为：设，由条件概率的公式可得称为在的条件下随机变
4、量的条件分布律；同理，设，由条件概率的公式可得称为在的条件下随机变量的条件分布律；性质：以上两个条件分布律均满足分布律的基本性质。2.连续型随机变量的条件分布（1） 条件分布函数定义：设二维连续型随机变量的概率密度为和分别是关于和的边缘分布的概率密度。若，我们把称为在的条件下，的条件分布函数，记为。若，我们把称为在的条件下，的条件分布函数，记为。（2） 条件概率密度在的条件下，的条件概率密度为：在的条件下，的条件概率密度为：.八、 随机变量的独立性1.定义 设随机变量的联合分布函数为, 边缘分布函数为, 若对任意实数,有即 则称随机变量和相互独立. 2.离散型随机变量的独立性设是二维离散型随机
5、变量, 其概率分布为若对的所有可能取值 有即 则称和相互独立. 3. 连续型随机变量的独立性对二维连续型随机变量, 其独立性的定义等价于:若对任意的, 有几乎处处成立, 则称相互独立.九、二维随机变量的函数的分布1.的分布（1）. 两个离散型随机变量的函数的分布设二维随机变量的联合分布律为：若随机变量是和的和，即，则的任一可能的值是的可能值和的可能值的和：=+于是有：=或者讲解例题：P71-72：例1、2；练习：P76：1。（2） 两个连续型随机变量的函数的分布设二维随机变量的联合概率密度为，则的概率密度为：特别地，当和相互独立时，有上面两个式子称为卷积公式。2. 商 （Y0）的概率密度函数
6、若X与Y相互独立，则 3.的分布（1）. 的分布设和是两个相互独立的随机变量，则有（2.）推广：设是相互独立的随机变量，则及的分布函数分别为：特别地，当相互独立且具有相同的分布函数时有：常见题型1、二维随机变量联合分布、边缘分布与条件分布例1. （98，3分）设平面区域D由曲线，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为。解：设区域D的面积为其中求关于X的边缘概率密度当当因而得例2.（99，3分）设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N（0，1）和N（1，1），则（A）（B）（C）（D）答案：B，例3.（99，8分）设随机变量X与Y相
7、互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 Y X1答案： YX1例4.（06，9分）随机变量x的概率密度为为二维随机变量(X,Y)的分布函数.()求Y的概率密度()解;（1）由于，所以当当当当于是，Y的分布函数为所以，Y的概率密度为（2）例5.（07,4分）设随机变量服从二维正态分布，且不相关，分别表示的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为（ ）(A) (B) (C) (D) 答案：选择A由于随机变量服从二维正态分布，因此从不相关可知相互独立，于是有=例6.（09，11分）设二维随机变量（X，Y）的密度函数为
8、试求：（1）求条件分布密度；（2）求条件概率.解：（1）（3）所以，例7.（09,11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个求以分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数（1）求（2）求二维随机变量的概率分布.解：（1）（2）的取值范围为0,1,2。故Y X01201/41/61/3611/31/9021/900例8.(10,11分)设二维随机变量的概率密度为，求常数A及条件概率密度解：X的边缘概率密度为，例9.（10,11分）箱内有6个红球，其中红，白，黑球的个数分别为1,2,3个，现从箱中随机取2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球的个数。（1）求
9、（X,Y）的概率分布（2）求解：（1）X所有可能取值为0,1，Y的所有可能取值为0,1,2（X,Y）的概率分布X Y01201/52/51/152/311/52/1501/32/58/151/15（2）例10.设随机变量，且，求解：设随机变量的联合分布为 -1 01-101从而类似有进一步可知因此有例11.设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一随机变量Y在1X中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律，X，Y的边缘分布律，并判断独立性。解： XY 123411/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/161/4840001/1
10、61/161/41/41/41/4，故X，Y不独立。2、二维随机变量的函数的分布例12.（87，6分）设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数。解：因为X与Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为于是当当故利用分布函数法求得的概率密度为例13.（91，6分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求随机变量Z=X+2Y的分布函数。解：按定义，故例14.设随机变量相互独立同分布于B（1，0.4），求行列式的概率分布。解：设则，显然，随机变量独立同分布.随机变量有三个可能值所以行列式的概率分布律为X-101P0.13440.73120.1344例15（09,4分）
11、设随机变量相互独立，且X服从标准正态分布的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ）（A）0 （B）1 (C) 2 (D) 3解：因为相互独立，所以故为间断点，故选择B例18.（06，4分）设随机变量与相互独立，且均服从区间0, 3上的均匀分布，则= .解：例16（08.4分）设随机变量独立同分布，且的分布函数为，则的分布函数为（ ）（A） （B） （C） （D）答案：A因为独立同分布，于是有例17.设某型号的电子元件寿命（以小时计）近似服从N（160，202）分布，随机选取4件，求其中没有一件寿命小于180小时的概率。解：将随机选出的4只电子元件的寿命分别记为按题意，其分
12、布函数为，令于是故其中没有一件寿命小于180小时的概率为例18.对某种电子装置的输出测量了5次，得到的观察值，设它们是相互独立的变量，且都服从同一分布试求：的概率。解：相互独立，由），得练习1. （92，6分）设随机变量X与Y相互独立，X服从正态分布，Y服从-，上均匀分布，试求Z=X+Y的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数表示，其中。解：因为X与Y相互独立，利用卷积公式，考虑到仅在上才有非零值，所以令，则=2.（94，3分）设相互独立的两个数随机变量X与Y具有同一分布律，且X的分布律为则随机变量Z=maxX，Y的分布律为。解：则随机变量Z=maxX，Y的分布律为Z01P1/43/43.（95，3分）设X和Y为两个随机变量，且则。解：4.设X与Y是两个相互独立的随机变量，它们均匀地分布在（0,）内，试求方程t2+Xt+Y=0有实根的概率。解：t2+Xt+Y=0有实根的概率为5.设平面区域D是由与直
