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1、 函数的奇偶性一、对称区间a,b关于原点的对称区间为b,a关于原点的对称区间为1,1关于原点的对称区间为1,1二、奇函数与偶函数一奇函数的定义：对于任意函数f在其对称区间关于原点对称内,对于xA,都有ff,则f为奇函数.二偶函数的定义：对于任意函数f在其对称区间关于原点对称内,对于xA,都有ff,则f为偶函数.如果函数f是奇函数或是偶函数,则我们就说函数f具有奇偶性.三判断函数奇偶性的步骤：1求函数f的定义域；2若函数的定义域不关于原点对称,则该函数不具备奇偶性,此时函数既不是奇函数,也不偶函数；若函数f的定义域关于原点对称,再进行下一步；3求f；4根据f与f之间的关系,判断函数f的奇偶性；若
2、ff,函数是奇函数；若ff,函数f是偶函数；若ff,则f既不是奇函数,也不是偶函数；若ff,且ff,则f既是奇函数,也是偶函数.即f0,即定义域关于原点对称的常数函数f；当0时,常数函数是偶函数； 当0时,常数函数既是奇函数,也是偶函数.例1：判断下列函数奇偶性.1f 2fx3x3f4f5fx2cosx解析：1奇2奇3非4非5偶变式练习：判断下列函数的奇偶性.1fxtanx 2f 3f解析：1偶2奇3奇注意：1、判断函数奇偶性的步骤1求定义域,判断函数定义域是否关于原点对称；2计算f； 3判断,若ff偶函数,若ff奇函数,否则为非奇非偶函数.2、直接判断法：偶偶偶；偶偶偶；奇奇奇；奇偶奇.一些
3、重要类型的奇偶函数：1f为偶函数, f为奇函数；2f0且1为奇函数；3f0且1为奇函数；4f0且1为奇函数.三、奇偶函数的性质与应用一偶函数的性质：偶函数的图象关于y轴对称；fff；偶函数的单调性在其对称区间内的单调性相反；二次函数fax2bxc是偶函数,则b0.二奇函数的性质：奇函数的图象关于原点对称；ff；奇函数的单调性在其对称区间内的单调性相同；一次函数fkxb是奇函数,则b0；若x0在其定义域内,则有f0.例2：已知函数fx2xc是偶函数,则gx4x3cx2是_函数.填奇函数、偶函数、非奇非偶函数解析：偶函数变式练习1：已知函数fx2x3是偶函数,且定义域为1,2,则_,_.解析： 0
4、变式练习2：下列函数是奇函数又是增函数的是 A：fx1 B：fx3C：fD：fxx解析：D变式练习3：若函数f是奇函数,则_.解析：ff,则,得,故1例4：已知f是R上的奇函数,当x0,fx22x,求f的表达式.解析：f变式练习：已知f是定义在R上的奇函数,当x0时,fx22x3,求f的解析式.解析：f例5：已知函数f是定义在R上的奇函数,且f2,则f_.解析：f2变式练习1：若f是R上的奇函数,当x0,f2x2x,则f_.解析：f3变式练习2：已知函数f是定义在R上的奇函数,当x0时,f,则ffA： B： C：2 D：2解析：D变式练习3：已知f是奇函数,若gf4,且g2,则f_.解析：f2
5、变式练习4：若fx5ax3bx8,且f10,则f_.解析：f26变式练习5：已知函数f,则ff_.解析：令f,g是奇函数,故f,f,故ff6 例6：已知f是定义在上的奇函数且是减函数,满足ff0,求的取值范围.解析：例7：已知偶函数f在区间单调递增,则满足ff的x 取值范围是 A： B： C：, D： 解析：2x1,则x A变式练习2：设f是R上的偶函数,在区间上是增函数,且有ff,求的取值范围.解析：法一：0,0,故03法二：,则22,220,0,03.变式练习3：函数fx0是奇函数,且当x时是增函数,若f0,求不等式fx0的解集.解析：由于函数是奇函数,在时是增函数,故在上是增函数,f0,
6、则f0,则fxf或fxf,得或或x0或x综上所述：不等式的解集为例8：已知f是定义在R上的函数,对于任意的xR,都有ff2ff,且f0.1求证：f1；2求证：函数f是偶函数.解析：1令xy0,则ff2ff,f0,故f1；2令x0,则ff2ff,得ff2f,即ff,即ff,故函数f是偶函数.变式练习1：若f的定义域为R,且对任意x、yR,都有fff成立.1判断函数f的奇偶性；2若当x0时,f0,判断函数f的单调性；3若f4,求f的值.解析：1令xy0,则fff,得f0,令yx,则fff,即ff,故函数是奇函数.2设,则0,则f0,则ffff,即fff0,即ff.故f在R上是增函数.3fff2f4
7、f8f16f,故f,函数是奇函数,f例9：已知偶函数f在区间 3,1上是减函数,则f,f,f的大小关系是_.解析：fff变式练习1：设函数f是定义在 6,6 上的奇函数,若当x0,6时,f的图象如图所示,则不等式f0的解集为_.解析：变式练习2：设f是定义在R上的偶函数,且当x0,时,fx22x,则不等式f3的解集为_.解析：3,3变式练习3：已知yf是偶函数,yg奇函数,它们的定义域都是3,3,且它们在x0,3上的图象如图所示,则不等式0的解集是_.解析：由奇、偶函数性质作出整个定义域内的图象,0,即0故：课 后 综合练习1、若是奇函数,则其图象关于A：轴对称B：轴对称C：原点对称D：直线对
8、称解析：C2、已知函数二次函数fax2bxca0是偶函数,那么b的值A：1B：2C：0D：不确定解析C3、下列函数中为偶函数的是 A：B：C：D：解析：C4、 已知函数是奇函数,则的值为 A：B：C： D：0解析：D5、已知偶函数在上单调递增,则下列关系式成立的是 A：B：C：D：解析：C6、若函数是奇函数,则的值为_ .解析：37、已知 是定义在上的奇函数,当时,的图象如右图所示,那么函数值y的取值范围是_.解析：8、如果奇函数f在区间3,7上是增函数且最小值为5,那么f在区间7,3上是A：增函数且最小值为5 B：增函数且最大值为5C：减函数且最小值为5 D：减函数且最大值为5 解析：B9、下列函数是奇函数是 A：f B：f C：f D：f解析：D10、下列函数是偶函数是 A：f B：f C：f D：f解析：B11、已知f是定义在R上的偶函数,且在上是增函数,则 A：fff B： fffC：fff D：fff解析：23 A12、已知f是定义在上的奇函数,且f.1求函数f的解析式；2判断函数f在上的单调性；3求解关于x的不等式：ff0解析：f 增 0t13、设奇函数f在上为增函数,且f0,则不等式0的解集为 A： B：,1 C：,1 D： 解析：0,即0 数形结合 D /
