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1、习 题 四(A)1、设随机向量的分布函数为，对任意（），证明：。解 2、一台仪表由二个部件组成，以和分别表示这二个部件的寿命（单位：小时），设的分布函数为求二个部件的寿命同时超过120小时的概率。解 3、设等可能的取1,2,3,4中的一个，等可能的取1, ,中的一个，求的联合分布及关于的边缘分布列。解 易见，和的取值都是1,2,3,4，且取的概率为,此时取中一数的概率为,因此,而当时。于是得到的联合分布：关于Y的边缘分布列：4、设从装有红、白球的袋中任取一球，取得红球的概率为，现从袋中有放回的每次取一球，直到第二次取得红球为止，设表示第次取得红球时所抽取的次数，求的联合分布列、边缘分布。解 5
2、、将一枚硬币抛3次，以表示前2次出现正面的次数，以表示3次中共出现正面的次数，求的联合分布和边缘分布。解 的可能取值为0，1，2，的可能取值为0，1，2，3，则故的联合分布列及其边缘分布列如下表：6、假设随机变量在区间服从均匀分布，随机变量 求和的联合概率分布解 随机向量有等4个可能值，于是和的联合概率分布为7、 假设一批产品中有4件不合格品和16件合格品，接连从中随机地抽出两件，以和分别表示先后抽到不合格品的件数（0或1），试求，(1)和的联合分布；(2) 由和的联合分布求和的概率分布解 (1) 按古典型概率公式分别计算为值的概率，得(2) 和都有0和1两个可能值，由全概率公式，有由此得和的
3、概率分布列：01018、 设随机变量和各只有1,0,1 等三个可能值，且同分布并满足条件：试求和的联合分布，假设满足条件，(1) ；(2) 解 (1) 下面表中用黑体表示已知的概率，其中由条件得表心中的4个黑体“0”从而不难求出表中的其他概率 XY1 0 11011/41/21/41/4 1/2 1/41(2) 下面表中用黑体表示已知的概率，其中由条件得表心中的6个黑体“0”从而不难求出表中的其他概率 X Y1 0 11011/41/21/4 1/4 1/2 1/419、设和是两个相互独立且分布相同的随机变量，其共同分布由下列密度函数给出，求。解 的联合密度函数为 所以 =10、 假设随机变量
4、的概率密度在以为顶点的四边形上为常数，而在此四边形之外为0；考虑随机变量111/2uv1211/22O (1) 试求X和Y的联合概率分布；(2) 试求X和Y的联合分布函数解 以为顶点的四边形是菱形，记作以表示的概率密度，则，其中是常数由概率密度的性质，可见，其中是菱形的面积因此(1) 插图中4个小等腰三角形和4个小矩形的面积，都等于菱形面积的1/8随机向量有等4个可能值易见，于是，得X和Y的联合概率分布为：；(2) 由X和Y的联合概率分布可见，X和Y的联合分布函数为：11、服从抛物线和直线所夹的区域上的均匀分布，求联合密度与边缘密度函数。解 由于的面积为故联合密度函数为则边缘密度函数为 显然，
5、12、若的密度函数为求：（1）常数；（2）；（3）的边缘分布；（4）；（5）。解 （1）（2）。（3）的边缘分布，当时，当时有.（4）.（5）,。13、某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为设各周的需求量是相互独立的，求两周需求量和的密度函数。解 ，分别表示第一周、第二周需求量，表示两周的总需求量，那么，故的概率密度为14、设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，试求边长为和的矩形面积的密度函数。解 联合密度为当时：当时：当时：15、设的联合密度函数为，求的分布函数。解 的分布函数，由联合密度计算得可见，故和相互独立。故16、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似服从正态分布，随即地选
6、取4只。求其中没有一只寿命小于180的概率。解 是第只电子管的寿命，即求180的概率又所以17.设 试求的分布。解 易见只取两个值0和1，从而是离散型的。由(4.22)得从而，的分布为 和 。18、证明 若，且与独立，则证明：故 19、证明 若，且与独立，则。证明：易见的取值为, 对, 故20、设服从单位圆上的均匀分布，密度函数为，求。解 依题可得的边缘密度为于是，当时，有 即当时，有 =21、设二维随机变量的联合密度函数为求：（1）,；（2）,。解 (1) 在时， (2)在时， 22、已知二维随机变量的联合分布函数为 ，求和的数学期望与方差。解 23、已知二维随机变量的联合密度函数为问和的数
7、学期望与方差是否存在？若存在，请求出。解 可得： ，故的方差不存在 24、设随机变量，随机变量，求：（1）求的联合概率分布；（2）求。解（1）的联合分布： 0101（2）25、设随机变量和的联合分布在点，为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求随机变量的方差。解 联合密度为同理,26、若抛颗均匀骰子，求颗骰子出现点数之和的数学期望和方差。解 颗骰子出现点数为可看作个相互独立同分布的随机变量，故有 27、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，求停车的次数的期望。解 ，易见，因为任一旅客在第站不下车的概率为9/10，所以 ，由此，所以，28
8、、设随机变量独立同分布，且方差令随机变量，求。解 由于随机变量独立同分布, 于是可得 .29、 设随机变量X和Y的联合分布列为： Y X 101010.070.080.180.320.150.20求：(1) 和的相关系数；(2) 求的协方差；(3) 问和以及是否相关？是否独立？解 (1) 随机变量和的相关系数；易见的概率分布及其数学期望相应为于是(2) 的协方差(3) 由（1）可见和不相关，但是不独立，因为；由（2）可见相关，从而不独立30、设随机变量，已知，求：（1），；（2），解 （1）=，（2），31、假设随机变量和的数学期望都等于，方差皆为2, 其相关系数为0.25，求随机变量和的相关
9、系数解 首先求和的数学期望和方差，；由条件知，；因此 注意到， , 有从而，随机变量和的相关系数为32、设二维随机变量的密度函数为，求：，。解 ，（B）1、设，且相互独立，求在条件“”下，的条件分布。解 由定理4.7知：（）可见，在下的条件分布为二项分布。2、（昆虫繁殖问题）若一只昆虫产卵数，每只卵成活的概率是，若卵的孵化是相互独立的，问每只昆虫平均有几个后代。解 设一只昆虫产卵成活数为在条件下成活数从而则又由于，则所以即每只昆虫平均有个后代。3、某人在迷宫三叉口处，若进第一口走2小时可走出迷宫，若进第二口走3小时回到原处，若进第三口走4小时回到原处，每次到达原处选择每个口都是等可能的。求走出
10、迷宫平均要多长时间。解 设表示他走出迷宫所需时间，即求。又设为他选择的口序号。由已知所以，得到，即。即该人平均要9个小时才走出迷宫。4、设服从正方形区域上的均匀分布，求和的分布。解 （1） 易见，当时，=0；当时，=1。当时， 由此得到的密度函数（2）易见，当时，=0当 时当 时的分布函数。的密度函数5、设与相互独立，其共同分布为,求的分布。解 因为与的密度函数为：显然，当或时，与至少有一个不成立，故。当时；当,于是的密度函数为这个分布不再是均匀分布。这样的分布称为三角分布。6、设，求它的两个条件分布。解 由(4.29)得 即在下的条件分布为：。对称地，有在下的条件分布为：。7、设二维随机变量
11、的密度，其中，都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为和，它们的边缘密度所对应的随机变量的期望为零，方差为1。（1）求和的密度函数和，及和的相关系数（可直接利用二维正态密度的性质）；（2）和是否独立？为什么？解 (1) 设是的联合密度, 设是的联合密度, 同理 可见,(2)所以与不独立. 8、设相互独立，分别服从，试求的密度函数。解 ， 得,服从柯西分布。9、设和是两个相互独立且服从相同的分布，求的密度。解 的分布函数为，则利用极坐标变换，得于是的密度是10、设随机变量在区间上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求(1) 随机变量和的联合密度函数；(2
12、)的密度函数；(3)。解 (1)的概率密度为在的条件下，的条件概率密度为当时，随机变量和的联合概率密度为在其它点处，有，即(2) 当时，的概率密度为；当或时，因此(3)11、假设是一矩形，随机变量和的联合分布是区域上的均匀分布考虑随机变量(1) 求和的相关系数；(2) 求和的相关系数x= yx =2yy1OG1G2G32x解 若，则和的联合密度为， 否则直线和将矩形分为三部分(见图4.2):易见(1) 首先，求和的密度和当或时，显然；当时，同理可得, 当或时，显然；当时，由此可见，对于任意，有，即和独立，从而它们的相关系数(2) 为求和的相关系数，先求其联合分布有等4个可能值由和的联合分布，可得以及和的分布：因此，有；16
