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1、线性代数疑难习题讲解容杰华 叶宇鑫 梁志光（20056）1题目 证明向量线性无关的充要条件是线性无关。知识点 线性无关，向量的初等变换。解题步骤：方法一。 必要性：设即线性无关有方程组其系数矩阵的行列式:只有零解即线性无关充分性：设 与其等价的式子为线性无关其系数矩阵的行列式：方程只有零解即线性无关.方法二：故线性无关的充要条件是线性无关方法总结：方法一是从定义出发进行证明，必要性比较容易想到，但充分性比较难，要确定与其等价式子的系数，可通过求解方程组的方法来确定。方法二是利用了向量的初等变换求秩方法来解决问题。相关例题：例4.9（P67）2题目 设为n阶实矩阵，证明：若，则。知识点：矩阵相乘
2、、转置矩阵、零矩阵概念解题步骤：证明：设，则其中*为省略表示的代数和为实数即0常见错误及原因：混淆了零矩阵与行列式为零的概念，由得出。3设为n阶矩阵，若，试证的特征值是 -1或1.知识点：特征值与特征向量解题步骤：方法一。设的特征值为，对应的特征向量为，则有：两边左乘矩阵得：或把和代入上式得：因为为非零向量，所以方法二。或或的特征值为或方法三。设的特征值为，并设有多项式则方阵的特征值为由得即相关例题：例5.4（P89）4题目 设A, X, B分别是mn,n1,m1矩阵，B0; 是方程AX=B的一个解；对应的齐次方程AX=0的一个基础解系为， ，r = rank(A). 证明 , ， ， ，线性
3、无关。知识点：线性无关 基础解系解题步骤：方法一。（从定义出发）设存在k, k, k, k, k，使k+ k+ k+k= 0在等式两边左乘A，有kA + kA+ kA+kA= 0， ， ，是齐次方程AX=0的一个基础解系，是方程AX=B的一个解。 kA+ kA+kA=0， A =B kB=0 B0k = 0 k+ k+ + k=0成立 ， ， ，是齐次方程AX=0的一个基础解系。 ， ， ， 线性无关k=k=k= = k=0k = k= k= k= = k=0 , ， ， ， 线性无关.方法二。（反证法）假设 可由 ， ， ， 线性表示，即 =， ， ，是齐次方程AX=0的一个基础解系。 ，
4、， ， 线性无关 是方程AX=B的一个解A = 0 =B这与B0矛盾假设不成立不能由， ， ，线性表示 Rank(， ， ，)=n-r+1 , ， ， ， 线性无关.方法三。证明：， ， ，是齐次方程AX=0的一个基础解系。， ， ，线性无关。Rank (， ， ) = nr 是方程AX=B的一个解，B0不能由， ， ，线性表示 Rank (， ， ，) = nr1 , ， ， ， 线性无关.方法总结 虽然向量组线性相关或无关的证明比较困难，但还是有多种方法可以解决。可从定义出发进行证明（方法一），可用反证法进行证明（方法二），还可以利用性质或定理进行证明（方法三）。5题目求矩阵A=的特征值与
5、特征向量。知识点 特征值 特征向量解题步骤法：解： A的特征多项式为 det(AE) = =解 det(AE) = 0 得 特征值 当 时， 得 则：, 故是A的属于的全体特征向量，当 时， 得 则 ， 故是A的属于的全体特征向量。常见错误解： A= 则 A的特征多项式为 det(AE) =得 特征值 （因为特征值已经错误，后面的步骤省略）分析 在计算这类题时，大部份同学都会将矩阵化为对角矩阵或上、下三角矩阵，但有些同学习惯于纯粹的数字矩阵的初等变换，而不习惯于有未知数的初等变换，于是为了计算方便，便直接将矩阵A变换成对角矩阵或上、下三角矩阵，造成错误。其实我们可以知道，当矩阵A初等变换成对角
6、矩阵或上、下三角矩阵时，矩阵A就不是原来的矩阵A，而是与矩阵A的秩相同的另一个矩阵了。相关例题(1)求矩阵A=的特征值与特征向量。(2) 求矩阵A=的特征值与特征向量。6.题目在计算机行列式时如何利用范德蒙行列式的结果.知识点n阶范德蒙行列式的算法为 = (1)它有如下结构特点:的每列都是某一个数的不同方幂,且自上而下方幂次数由0递增至n-1.只要抓住其特点,将所给行列式转化为范德蒙行列式,然后用(1)式计算结果.现将常见的转化方法归纳如下:方法一当所给行列式各列（或行）都是某元素的不同方幂，但其次数或其排列与范德蒙行列式不尽相同时，应利用行列式的性质（提公因式，调换行列次序等），将其转化为范
7、德蒙行列式。例如：计算解 提取各行的公因式，得上式即为n阶范德蒙行列式，故=n!(2-1)(3-1)(n-1)(3-2)(4-2)(n-2)n-(n-1)=n!(n-1)!(n-2)!2!1!方法二当各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂时，可用加边法来转化。例如： 计算 解 (1)当a,b,c,d中任两个相等时，显然D=0 (2) 当a,b,c,d互异时，由于D中缺少三次幂的一行元素，为产生五阶范德蒙行列式，现添加一列，得 按最后一列展开，得 f(x)= 因为f(a)= f(b)= f(c)= f(d)=0,故a,b,c,d为f(x)的四个根，由根与系数关系得a+b+c+d
8、= -/又因为= -D，而 =(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)故D= -=(a+b+c+d)= (a+b+c+d) (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)方法三行列式的各行（或列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）不是元素的某次幂，用行列式性质使其转换为范德蒙行列式的形式. 例试用范德蒙行列式计算D= D=(a+b+c) =(a+b+c)(b-a)(c-a)(d-a)方法总结范德蒙行列式是线性代数中一个相当重要的工具，如果在计算行列式时能够熟练的适时运用，将为解题过程带来很大的方便。7.题目 设n阶矩阵X满足，证明都可逆，并求。知识点 逆矩阵，
9、矩阵的运算解题步骤 证明 方程化为，即，取行列式得，故，即可逆。由 知 X可逆且方程也可以化为，故，即可逆.=.另外也可这样做:既然已证明原矩阵可逆，则原式一定可化成的形式，只需用待定系数法便能得到结果.常见错误(1)在求逆矩阵时把矩阵代数化.如得到像的式子.解得逆矩阵为(2)“巧用代数变换”由得从而解得逆矩阵为相关例题设n阶矩阵满足.8.题目设向量组线性无关，且，判断向量组的线性相关性.知识点解题过程解法一 （从定义出发） 设 即线性无关 所以线性无关.解法二 （利用矩阵的秩）因为 满秩即线性无关。常见错误(1)线性相关性概念模糊，以致无从下手.(2)不会利用系数行列式求解齐次线性方程组，以致无法利用矩阵的秩求解.12
