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1、Ch07 间接平差_例题例7.1.1 平差原理在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L1、L2和L3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角L1、L2的平差值【最或然值】作为参数、，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式 称为观测方程可得 称为误差方程为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令 ，则上式可写成如下形式： 称为误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。单纯为消除矛盾， 、 、可有多组解，为此引入最小二乘原则： 可
2、求得唯一解。因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要求： ，设观测值为等精度独立观测，则有： 按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得 =（2）2-(1)=， 代入误差方程式，得到观测值的平差值【最或然值】 例7.1.2 水准网如图所示的水准网中，A、B、C为已知水准点，高差观测值及路线长度如下： = +1.003m， = +0.501m， = +0.503m， = +0.505m
3、； =1km， =2km， =2km， =1km。已知 =11.000m， =11.500m， =12.008m，试用间接平差法求 及 点的高程平差值。 图 解：（1）按题意知必要观测数 =2，选取 、 两点高程 、 为参数，取未知参数的近似值为 、 ，令2km观测为单位权观测，则 。 （2）根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下 代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有 可得 、 和 矩阵如下 、 、 （3）依据最小二乘原理，由误差方程系数 和自由项 组成法方程 得 解算法方程，求出参数 （4）计算参数的平差值 ； （5）由误差方程计算 ，求出观测量平差值 ； 例7.2.1 导
4、线网平差 如图4-7所示，A、B、C为已知点，P1、P2是待定点。同精度观测了六个角度、，测角中误差为2.5，测量了四条边长、，观测结果及其中误差见表4-2。起算数据见表4-1。试按间接平差法求待定点P1及P2的坐标平差值。表4-1点名x(m)Y(m)S(m)坐标方位角（）ABCD3143.2374609.3614157.1973822.9115260.3345025.6968853.2549795.7261484.7811000.000350 54 27.0109 31 44.9表4-2角度边长编号观测值（）编号观测值（）编号观测值s（m）中误差(cm)123444 05 44.893 10
5、 43.142 43 27.2201 48 51.256201 57 34.0168 01 45.2789102185.0701522.8531500.0171009.0213.32.32.21.5解：本题，即有10个误差方程，其中有6个角度误差方程，4个边长误差方程。必要观测数。现取待定点坐标平差值为参数，即 计算待定点近似坐标各点近似坐标按坐标增量计算，结果见表4-3。表4-3点名观测角坐标方位角观测边长近似坐标ABP1DCP293 10 43.1168 01 45.2350 54 27.077 43 43.9109 31 44.9301 29 59.71522.8531009.02131
6、43.2374609.3614933.0253822.9114157.1974684.4085260.3345025.6966513.7569795.7268853.2547792.921 由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的近似坐标方位角和近似边长（见表4-4）。表4-4方向近似坐标方位角近似边长（m）AP1BP1P1 P2P2C35 00 15.477 43 43.999 32 27.8121 29 59.72185.0421522.8531499.9131009.021 计算坐标方位角改正数方程的系数。计算时、均以m为单位，而、因其数值较小，采用cm为单位。有关系数值的计算见表4-5
7、、表4-6。表4-5方向的系数（秒/cm）AP1BP1P1 P2P2C1253.4221488.0601479.165860.3331789.788323.664-248.617-527.211477104232104225104102104-0.542-1.3231.3560.7740.2880.228-1.3561.740-0.2281.066表4-6方向边长误差方程系数AP1BP1P1 P2P2C1789.788323.664-248.617-527.2111253.4221488.0601479.165860.3332185.0421522.8531499.9131009.0210.8
8、1910.21250.16580.57360.9772-0.9862-0.16580.52250.9862-0.8526表4-7角123456-0.5421.323-0.7812.679-1.3560.774-0.288-0.486-0.060-0.228-1.3563.096-1.740-0.2281.294-1.066-3.60-1.37.32.10111111边789100.81910.21250.16580.57360.9772-0.9862-0.16580.52250.9862-0.85262.8010.400.571.181.292.78 法方程的组成和解算由表4-7取得误差方程的
9、系数项、常数项，组成法方程的系数项、常数项，可得法方程为系数阵的逆阵为由算得参数改正数：（cm） 平差值计算坐标平差值 观测值的平差值根据公式得各改正数为从而得平差值为，如下表4-8表4-8编号观测值平差值角144 05 44.844 05 44.5293 10 43.193 10 47.3342 43 27.242 43 28.34201 48 51.2201 48 49.95201 57 34.0201 57 32.76168 01 45.2168 01 42.6边72185.0702185.04281522.8531522.82591500.0171499.981101009.0211009.002例7.3.1 水准网P125 例题7-6在图7-11中，A、B为已知水准点，高程为、，设为无误差，各观测的路线长度分别为km，km，km，km，试求P1和P2点平差高程的协因数。解：平差的参数选取P1和P2点高程，设为和，按图组成误差方程为 图 7-11定权时令C4，即以4 km观测高差为单位权观测值，因观测值相互独立，故，相关协因数，由此得法方程为因为，故有平差后P1、P2点高程的协因数分别为，与的协因数则为
