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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流欧拉定理99617.精品文档.欧拉定理认识欧拉欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计
2、算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如，i，e，sin，cos，tg，f (x)等等，至今沿用。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。
3、欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？ 欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式. 初等数论中的欧拉定理定理内容在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则 a(n) 1 (mod n) 证明首先证明下面这个命题： 对于集合Zn=x1,x2,.,x(n),其中xi(i=1,2,(n)是不大于n且与n
4、互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = a*x1(mod n),a*x2(mod n),.,a*x(n)(mod n) 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此 任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi xj 则a*xi(mod n) a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。 所以，很明显，S=Zn 既然这样，那么 （a*x1 a*x2.a*x(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) a*x2(mod n) . a*x(n)(mod
5、 n)）(mod n) = （x1 x2 . x(n)）(mod n) 考虑上面等式左边和右边 左边等于(a*（x1 x2 . x(n)）) (mod n) 右边等于x1 x2 . x(n)）(mod n) 而x1 x2 . x(n)(mod n)和n互质 根据消去律，可以从等式两边约去，就得到： a(n) 1 (mod n) 推论：对于互质的数a、n，满足a(n)+1) a (mod n) 费马定理: a是不能被质数p整除的正整数，则有a(p-1) 1 (mod p) 证明这个定理非常简单，由于(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。 同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有ap a
6、 (mod p) 平面几何里的欧拉定理定理内容设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr 证明O、I分别为ABC的外心与内心 连AI并延长交O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点 连DO并延长交O于E，则DE为与BC垂直的O的直径 由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IAID（作直线OI与O交于两点，即可用证明） 但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得）， 故只需证2Rr=IADB，即2RDB=IAr 即可 而这个比例式可由AFIEBD证得故得R2-d2=2Rr，即证 拓扑学里的欧拉公式V+F-E
7、=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。 如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。 X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。 V+F-E=2的证明方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一
8、条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。 （2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。 以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。 方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和 一方面，在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，nF，各面内角总和为： = (n1-2)180度+(n2-2
9、)180度+(nF-2) 180度 = (n1+n2+nF -2F) 180度 =(2E-2F) 180度 = (E-F) 360度 （1） 另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。 设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)180度。 所以，多面体各面的内角总和： = (V-n)360度+(n-2)180度+(n-2)180度 =（V-2）360度（2） 由(1)(2)得： (E-F) 360度=（V-2）360度 所以 V+F-E=2. 方法
10、3 用拓朴学方法证明欧拉公式图尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。 欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末 F-E+V=2。 证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）： （1）把多面体（图中）看成表面是薄橡皮的中空立体。 （2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中的样子。假设F，E和V分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F-E+V=1。 （3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三
11、角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中的样子。每引进一条对角线，F和E各增加1，而V却不变，所以F-E+V不变。因此当完全分割成三角形的时候，F-E+V的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。 （4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图中的ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了ABC。这样F和E各减去1而V不变，所以F-E+V也没有变。 （5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图中的DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉DEF。这样F减去1，E减去2，V减去1，因此F-E+V仍没有变。 （
12、6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中的样子。这时F=1，E=3，V=3，因此F-E+V=1-3+3=1。 （7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中那样。 （8）如果最后是像图中的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F-E+V仍然没有变。 即F-E+V=1 成立，于是欧拉公式： F-E+V=2 得证。 复变函数论里的欧拉公式定理内容eix=cosx+isinx e是自然对数的底，i是虚数单位。 它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和
13、指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 将公式里的x换成-x，得到： e-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： sinx=(eix-e-ix)/(2i)，cosx=(eix+e-ix)/2. 这两个也叫做欧拉公式。 “上帝创造的公式”将eix=cosx+isinx中的x取作就得到： ei+1=0. 这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。 欧拉定理
14、的运用方法（1）分式： ar/(a-b)(a-c)+br/(b-c)(b-a)+cr/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由ei=cos+isin,得到： sin=（ei-e-i）/2i cos=（ei+e-i）/2 （3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d2=R2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 v-e+f=2-2p p为欧拉示性数，例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 (5) 多边形 设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有： V+Ar-B=1 (如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8) (6). 欧拉定理 在同一个
