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1、 一次函数知识归纳总结 一次函数学问归纳总结 一次函数学问归纳总结一一次函数和正比例函数的概念 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特殊地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函数，y=x，y=-x都是正比例函数. 【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要依据函数的实际意义来确定. （2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义一样，即自变量x的次数为1，自变量x的系数k必需是不为零
2、的常数，b可为任意常数.（3）当b=0，k0时，y=kx仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 二正比例函数y=kx（k0）的图象与性质：（1）正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线；画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可. （2）增减性当k0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；当k0时，图象经过其次、四象限,y随x的增大而减小三一次函数的图象与性质：（1）由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合
3、关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特 b殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（，0）. k但也不必肯定选取这两个特别点. （2）增减性k0时，y的值随x值的增大而增大；k0时，y的值随x值的增大而减小（3）b的正、负打算直线与y轴交点的位置；当b0时，直线与y轴交于正半轴上；当b0时，直线与y轴交于负半轴上；当b=0时，直线经过原点，是正比例函数 （4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同； 当k0，b0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； 当k0，b0时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过其次象限）； 当k0，b0时，直线经过第一、二、四象限（
4、直线不经过第三象限）； 当k0，b0时，直线经过其次、三、四象限（直线不经过第一象限） （5）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k0）的图象与正比例函数y=kx（k0）的图象之间的关系：直线y=kx+b可以看成直线y=kx上下平移b个单位得到的，当b0时，向上平移，当b0时，向下平移例如：直线y=x1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的直线y=x-1可以看作是正比例函数y=x向下平移一个单 位得到的 四点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系 （1）假如点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0，y0的值必满意解析式y=kx+b； （2）假如x0，y0是满意函
5、数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（x0，y0）必在函数的图象上 例如：点P（1，2）满意直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P（2，1）不满意解析式y=x+1，由于当x=2时，y=3，所以点P（2，1）不在直线y=x+l的图象上五正比例函数及一次函数表达式确实定：若题目中明确告知两个变量之间是一次函数的关系（或图像是直线）就用待定系数法，有的应用题则需依据题意列出。 先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再依据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数例如：函数y=k
6、x+b中，k，b就是待定系数 (1)确定正比例函数及一次函数表达式的条件: 由于正比例函数y=kx（k0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点的坐标）就可求得k的值由于一次函数y=kx+b（k0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值 （2）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 设：依据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b，（其中k，b是未知的常量，且k0）； 代：将已知点的坐标或x，y的对应值代入函数表达式，得到方程（组）， 求：解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b
7、； 写：写出函数关系式（把求得的k，b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）. 例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式 解：设一次函数的关系式为ykx+b（k0）， 4k2kb13由题意可知，kb3解得5b345此函数的关系式为yx 33六思想方法小结（1）函数方法函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法函数的实质是讨论两个变量之间的对应关系，敏捷运用函数方法可以解决很多数学问题 （2）数形结合法数形结合法是指将数与形结合，分析、讨论、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能
8、起到事半功倍的作用 扩展阅读：初中数学一次函数学问点总结 一次函数学问点总结: 一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式敏捷，综合应用性强。甚至有存在探究题目消失。主要考察内容：会画一次函数的图像，并把握其性质。会依据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。能用一次函数解决实际问题。考察一ic函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。突破方法：正确理解把握一次函数的概念，图像和性质。运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。把握用待定系数法球一次函数解析式。做一些综合题的训练，提高分析问题的力量。 函数性质： 1.y的变化值与对应
9、的x的变化值成正比例，比值为k.即：y=kx+b（k，b为常数，k0），当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。 2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 3当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特别的一次函数。 4.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k一样，b也一样时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k一样，b不一样时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不一样，b不一样时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不一样，b一样时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。若两个变量x,y间的关系
10、式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数图像性质 1作法与图形：通过如下3个步骤：（1）列表. （2）描点；一般取两个点,依据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。（3）连线，可以作出一次函数的图象一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）. 2性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满意等式
11、：y=kx+b(k0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 3函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 4k，b与函数图像所在象限： y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 当k0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k0,b0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当k0,b 中考要求 1经受函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数及变量思想，进一步进展抽象思维力量；经受一次函 数的图象及其性质的探究过程，在合作与沟通活动中进展合作意识和力量 2经受利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，
12、进展数学应用力量；经受函数图象信息的识别与应用过程，进展形象思维力量 3初步理解一次函数的概念；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关系 4能依据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并利用它们解决简洁的实际问题.中考热点 一次函数学问是每年中考的重点学问，是每卷必考的主要内容本学问点主要考察一次函数的图象、性质及应用，这些学问能考察考生综合力量、解决实际问题的力量因此，一次函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题.中考命题趋势及复习对策 一次函数是数学中重要内容之一，题量约占全部试题的510，分值约占总分的5 10，题型既有低档的填空题
13、和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还消失了设计新奇、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探究题、函数应用题，这局部试题包括了初中代数的全部数学思想和方法，全面地考察计算力量，规律思维力量、空间想象力量和制造力量 针对中考命题趋势，在复习时应先理解一次函数概念把握其性质和图象，而且还要注意一次函数实际应用的练习 复习要点 一次函数的图象和性质 正比例函数的图象和性质 考点讲析 1一次函数的意义及其图象和性质 一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kxb(k、b为常数，k0）的形式，则称y是x的一 次函数(x是自变量,y是因变量特殊地，当b=0时，称y是
14、x的正比例函数 一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b),(，0）的一条直线，正比例函数y=kx的图 象是经过原点(0，0）的一条直线，如下表所示 一次函数的性质：y=kxb(k、b为常数，k0）当k0时，y的值随x的值增大而增大；当k0时，y的值随x值的增大而减小 直线y=kxb(k、b为常数，k0）时在坐标平面内的位置与k在的关系 直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；直线经过第一、三、四象限（直线不经过其次象限）；直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；直线经过其次、三、四象限（直线不经过第一象限）； 2一次函数表达式的求法 待定系数法：先设出式子中的未知系数，再依据条件列议程或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。 用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：写出函数表达式的一般形式；把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序函数
