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1、非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论 摘要：本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组的解的结构问题，虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间，也没有基础解系，但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组，这个解向量组线性无关。并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示。最后，给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件，并给出了相应例题。 关键字：非零解，基础解系，线性无关，初等变换引言 非其次线性方程组 （）的矩阵形式为.取,得到其次线性方程组称为非其次线性方程组的导出组。我们知道非其次线性方程组的解有以下的一些性质：（1） 若是非其
2、次线性方程组的一个解，是其导出组的一个解，则也是的一个解。证明：因为是非其次线性方程组的一个解，所以有，同理有，则由.所以是非其次线性方程组的解。（2） 若是非其次线性方程组的两个解，则是其导出组的解证明：由,所以有,故为其导出组的解。2.定理 （非其次线性方程组解的结构定理）若是非其次线性方程组的一个解，是其导出组的通解，则是非其次线性方程组的通解。证明：由性质（1）可知加上其导出组的一个解仍是非其次线性方程组的一个解，所以只需证明，非其次线性方程组的任意一个解，一定是与其导出组某一个解的和，取由性质（2）可知，是导出组的一个解，于是得到，即非其次线性方程组的任意一个解与其导出组的某一个解的
3、和。由上面这个定理我们可以知道，一个其次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示。因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表示出一般方程组的一般解，如果是方程组（）的一个特解，是其导出组的一个基础解系，那么（）的任一个解都可以表示成：3.由上面2的证明过程，我们可以知道其次线性方程组的全部解可由基础解系线性表示出（其基础解系含有个解向量），即为任意实数。那么，当非其次线性方程组有解时，则至多有多少个线性无关的解向量？的全部解又如何表示？ 定理若其次线性方程组的基础解系为，当非其次线性方程组有解时，则它至多且一定有个线性无关的解向量，的通解可以表示为为满足关系式，的任意实数。证明：（）若是非其
4、次线性方程组的解，则为非零解向量，那么向量组，线性无关（否则可由线性表示，与是的解矛盾）。那么，易证都是的解，并且线性无关。这说明至少有个线性无关的解向量。 下面再证至多有个线性无关的解向量。反证：若有个线性无关的解向量，那么易证均为的解，并且线性无关。这样具有线性无关的解向量矛盾，所以，至多且一定有个线性无关的解向量。（）对于的任意一个解，一定可以表示成它的一个特解与其导出组的基础解系的线性组合，即为任意常数那么（为任意实数，且组合系数之和等于1.这说明，的任意解都可以表示成这样的形式。另一方面，由于都是的解，对于，只要满足仍然是的解，所以，的通解可以表示成，且为满足关系式，的任意实数。例2
5、设是线性方程组的一个解，是它导出组的一个基础解系，令。证明：线性方程组的任一一个解，其中。证明：由题可设方程组的任一解可以表示成（为常数）令，则（1） 引理：设为矩阵，用初等行变换，把化为阶梯形矩阵，并使该梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元素（从左算起）为1，且该元素所在列的其他元素为零，这样的阶梯形矩阵的为的行简化阶梯形矩阵。定理：非齐次线性方程组存在全非零解的充要条件是，它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等，且的行简化阶梯型矩阵中每个非零行的非零元素个数大于或等于2.证明：必要性 方程组有全非零解，则必须满足方程组的条件，因而，.不妨设其秩为且的简化阶梯矩阵为： （2）且其对应的方程组为若
6、对某个 有则，这和方程组（2）有全非零全部解矛盾，故对每个（），至少存在一个（）使或，即（2）中第（）行至少有两个非零元素。 充分性：设N是充分大的正数，令，将其带入（2）得：（），当（），时，显然成立；当上式右端至少存在一个非零系数，设第一个非零系数为，则因为所以，故存在充分大的正数，使（）；取，可使（） 这样，就得到方程组的一个全非零解例1方程组 有全非零解的充要条件？解:其增广矩阵的简化阶梯形矩阵为 故由上述定理可知，该方程组有全非零解的充要条件是为任意实数。例2已知非齐次线性方程组有三个线性五官的解，（）证明方程组系数矩阵的秩,()求的值及方程组的通解。解：（）设是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，则是导出组的线性无关解，所以，从而，显然矩阵中存在不为零的2阶子式，又有，从而秩。（）对线性方程组的增广矩阵作为初等行变换，有于是故，又因为是的解，且,是的基础解系，所以方程组的通解为（为任意实数）
