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1、第13讲 垂直的判定与性质1. 线面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作. 平面的垂线，直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若，B，则3. 面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作.4. 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直）5. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直线线平行）6. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一
2、个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，则.（面面垂直线面垂直）【例1】四面体中，分别为的中点，且，求证：平面. 证明：取的中点，连结，分别为的中点，.又，在中，又，即，平面.【例2】已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.解：取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO.由已知正方体，易知平面，所以为所求.在中，.所以直线AE与平面所成的角的正弦值为.【例3】三棱锥中，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面ABC的垂心.证明：连接OA、OB、OC， 平面ABC， .又 ， ，得, O为底面ABC的
3、垂心.【例4】已知，斜边BC/平面， AB，AC分别与平面成30和45的角，已知BC=6，求BC到平面的距离.解：作于，于，则由，得，且就是BC到平面的距离，设，连结，则，在中，即BC到平面的距离为【例5】如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60,（1）证明：C1CBD； （2）当的值为多少时，可使A1C面C1BD？解：（1）证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，四边形ABCD是菱形，ACBD，BC=CD又BCC1=DCC1，C1C是公共边，C1BCC1DC，C1B=C1DDO=OB，C1OBD，但ACBD，ACC1O=OB
4、D平面AC1，又C1C平面AC1，C1CBD.（2）由(1)知BD平面AC1，A1O平面AC1，BDA1C，当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1A1C，又BDBC1=B，A1C平面C1BD.【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：APEF；（2）求证：平面APE平面APF.证明：（1）如右图，APE=APF=90，PEPF=P， PA平面PEF. EF平面PEF，PAEF.（2）APE=EPF=90，APPF=P，PE平面APF.又PE平面PAE，平面A
5、PE平面APF.【例2】如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面. 证明：为AC中点，所以. 同理可证 面BGD. 又易知EF/AC，则面BGD. 又因为面BEF，所以平面平面.【例3】如图，在正方体中，E是的中点，求证：证明：连接AC，交BD于F，连接，EF，.由正方体，易得，F是BD的中点， 所以，得到是二面角的平面角.设正方体的棱长为2，则，. ，即，所以.【例4】正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.解：（
6、1）延长ED交CB延长线于F， ，.， 为截面与底面所成二面角的平面角. 在RtAEC中，EC=AC，故得EAC=45.（2）设AB=a，则，. .【例5】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.（1）求证：CDPD； （2）求证：EF平面PAD；（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF平面PCD？解：（1）证明：PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又 CDAD，CD平面PAD. CDPD.（2）证明：取CD中点G，连EG、FG， E、F分别是AB、PC的中点，EGAD，FGPD. 平面EFG平面PAD，故EF平面
7、PAD.（3）当平面PCD与平面ABCD成45角时，直线EF面PCD.证明：G为CD中点，则EGCD,由(1)知FGCD，故EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即EGF=45，从而得ADP=45，AD=AP.由RtPAERtCBE,得PE=CE. 又F是PC的中点，EFPC， 由CDEG，CDFG，得CD平面EFG，CDEF即EFCD，故EF平面PCD.ACBa【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？解：【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC. （1）
8、求证：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 解：（1）证明：C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径， BCAC.又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，从而BC平面PAC. BC 平面PBC， 平面PAC平面PBC.（2）平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD.【例3】三棱锥中，,平面ABC，垂足为O，求证：O为底面ABC的外心.证明：连接OA、OB、OC， 平面ABC， .在PAO、PBO、PCO中，, PO边公共. . ,所以，
9、O为底面ABC的外心.【例4】三棱锥中，三个侧面与底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面ABC的内心.【证】作于D，于E，于F，连接OD、OE、OF. 平面ABC， ， .又 , .得 , 为三个侧面与底面所成的二面角的平面角. 即得， PO边公共， ，得 ，又 . O为底面ABC的内心.【例5】在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC.（1）若D是BC的中点，求证：ADCC1； （2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；（3）如果截面MBC1平面BB1C1C，
10、那么AM=MA1吗？请你叙述判断理由.解：（1）证明：AB=AC，D是BC的中点，ADBC. 底面ABC平面BB1C1C， AD侧面BB1C1C, ADCC1.（2）证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N.AM=MA1，NA1=A1B1。 A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1。 C1NC1B1.底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C.截面C1NB侧面BB1C1C， 截面MBC1侧面BB1C1C.（3）过M作MEBC1于E，截面MBC1侧面BB1C1C, ME侧面BB1C1C，又AD侧面BB1C1C, MEAD，M、E、D、A共面.AM侧面BB1C1C，AMDE.
11、CC1AD，DECC1.D是BC的中点，E是BC1的中点. AM=DE=AA1，AM=MA1.9（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（1）求证：； （2）求证：平面；（3）求二面角的大小. 解：（1） PA平面 ABCD，AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又ABAC，AC平面ABCD， ACPB. （2）连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO. ABCD 是平行四边形， O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点，EOPB. 又 PB平面 AEC，EO平面 AEC， PB平面 AEC.（3）.探究创新10（02年北京理）如图，在多面体A
12、BCDA1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且ac，bd，两底面间的距离为h.（1）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的正切值；（2）证明：EF面ABCD；（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面h来计算.已知它的体积公式是V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）解：（1）过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1GPQ
13、，垂足为G.平面ABCD平面A1B1C1D1，A1B1C1=90，ABPQ，ABB1P.B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1HPQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形. PG=（bd）， 又B1G=h， tanB1PG=（bd），（2）证明：AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有ABCD，又CD是面ABCD与面CDEF的交线，AB面CDEF. EF是面ABFE与面CDEF的交线， ABEF. AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外， EF面ABCD.（）V估V.证明：ac，bd，VV估=2cd+2ab+2（a+c）（b+d）3（a+c）（b+d）=（ac）（bd）0.V估V.
