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1、几何证明的思路与方法（一）宝山区教师进修学院 张 波图形与几何的学习，帮助我们认识了丰富多彩的几何图形、发展了我们的空间观念、增进了我们逻辑推理的意识与能力，并增强了运用这些知识认识世界与改造世界的能力。学习几何离不开几何证明。几何学是适合培养我们逻辑思维能力的绝好资源。但是，我们发现有不少学生害怕几何，害怕几何证明。原因之一是大家感到几何证明似乎找不到一种通用的方法，不同的问题常常需要不同的处理。我们很容易掌握解方程，因为它们有着较为固定的处理程序。如解一个一元一次方程，我们只要按照“去分母、去括号、移项、合并、未知数的系数化为1”这样的步骤，就可以求出一元一次方程的解。而几何问题的解决就很
2、难形成这样的程序步骤，它常常需要我们根据具体的问题做出具体的分析，才能找到解决问题的路径和方法。但这并不是说几何问题的解决没有规律。我们还是可以在实践与反思的基础上，整理、归纳出一些思考问题的一般次序，这样的思维序列可以指导我们面对几何问题如何去思考，进而找到解决问题的办法。下面我们就来一起梳理处理几何证明问题时值得总结的思维角度与思维次序。一、思路梳理：我们都知道，证明题的结构基本上由“题设”和“结论”两部分组成，通常的表现形式是“已知-，求证-。”这里的“已知-”就是题设，或者称为条件，“求证-”就是结论。拿到一个几何证明题，我们都是如何思考的呢？我们都思考什么？有哪些思考的角度？有没有一
3、个思考的次序？很多同学可能会说：“拿到一个几何证明题，我要先弄清楚已知条件。”很好。那么，怎样算是弄清楚了已知条件呢？你都做些什么事情去帮助自己弄清楚已知条件？同学们会说：“我会把已知条件在图上标记出来。”这是一个不错的做法，在图上做标记。事实上，图形是几何证明题的一个重要组成部分。几何问题离不开图形，如果一个几何问题没有相应的图形，我们首先要做的事情就是画一张符合条件的图形。又有同学说：“我会思考条件的作用，由某些条件会推出些什么样的结论。”这也是一个好的习惯，思考条件的可能作用。大家还会说：“在清楚条件之后，我会从结论入手，进行分析。”非常好！从结论入手，分析要证结论成立，需要证什么。不同
4、的结论形式，我们会有不同的想法。如“要证明线段相等，我们可能会想证明三角形全等、或者等角对等边、或者平行四边形对边相等，还有线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，或者通过等量代换等等，最近，我们有时还会利用比例式去证明线段相等。”要证明某个结论成立，可能的路径、方法有很多种。我们又如何选择呢？大家可能会说，这时要结合条件进行判断，也有的同学会说，要看图形，看图形的结构特点，直觉判断有怎样的可能，或者排除某些方法。非常好！图形结构。这又是解决几何问题时，一个非常值得关注的部分。事实上，几何离不开图形，图形中蕴含着重要的信息。对图形及其结构的整体感觉，我们可以称为“图感”。就像学习语言需要“语感”
5、、学习音乐需要“乐感”一样，“图感”对几何学习也是非常重要的。我们在几何学习过程中，要有意识地去积累、丰富和不断完善我们的图形感觉。比如，最近我们研究相似形有关内容时，就提炼和总结了许多的图形结构。在我们优化学习系列讲座的前面几讲中，老师们曾总结过如下的一些基本图形结构：ABCDE相交线型平行线型旋转型 看到这些基本的图形结构，我们就会非常迅速地做出与之相应的反应。立即想到可能有怎样的线段成比例，或者某两个三角形相似。 小结：拿到一个几何证明题（事实上，几何计算等其它几何问题也基本如此），我们常常从条件、图形结构和结论等方面去加以思考。我们可以根据已知条件在图上适当做标记，并思考条件的可能作用
6、；我们可以观察图形的结构特点，通过观察，获得一定的直觉判断（如某两条线段或某两个角可能相等、某两条直线可能平行或垂直、两个三角形可能全等或相似等等）；我们看问题的结论，分析要证明结论成立，需要证什么。事实上，结论本身也是重要的信息。二、证明举例：BCADE例1. 已知中，是边上一点，且，垂足为点，联结。求证：.【分析】看题目中的条件，作标记、思考条件的可能作用。本题的条件似乎都较为明了，没有特别复杂的条件。看结论（即要证明的目标），分析要证明结论成立，需要证什么。要证：，结合已知图形，我们应该很容易发现一个熟悉的结构“A”型图。于是，要证：，想证.BADE这两个三角形有一个公共角,因此要么证明
7、另一对角相等，要么证明夹边成比例。结合已知条件，应该选择证明夹边成比例，即想证明，也就是想证明. 要证（或），我们的目光肯定会向图形的右侧转移。因为仅仅看上述的“A”型图，所有条件都几乎派不上用场。BCADEF当我们的目光转移到右侧、重新审视整个图形时，我们可能做什么呢？【思路一】我们可能由，想到取DC的中点F，然后会注意到CDE是直角三角形，F是斜边中点，因此联结EF. 这样一来，我们就有.ADEF因此，比例式中的线段就可以有很多种方式进行替换。如：、或等等，然后，我们逐一地观察。我们大多会选择. 这时，我们又会看到一个基本的图形结构（如右图）。于是，我们联结AE，进而想证DEF与ADF相似
8、。BCADEF我们不难注意到DEF是等腰三角形，我们自然希望ADF也是等腰三角形，由图形的对称性，我们不难证明它确实是。又它们有一个公共的底角，因此它们相似，从而得证。【法一】取DC的中点F，联结EF.、AF，则DF=EF、DF=DB，又易证，所以， 从而得到 DEFDFA，即. 又，所以 ，所以，. 回到我们的目标，要证，并且我们的目光转移到右侧。我们重新审视整个条件与图形结构。我们也可能从是等腰三角形着手。对等腰三角形而言，作底边上的高，从而三线合一，是最基本、最常用的辅助线。于是有以下尝试：BCADEH【思路二】 作AHBC，垂足为点H。高AH一出现，我们应该注意到AH、CE是ACD的两
9、条高（我们的目光正在关注右侧的图形）。又有一个熟悉的图形结构，呈现在我们眼前，我们不难发现.CADEH于是，我们得到，即.我们心中应该一直在想着我们的目标：。于是，现在只要证.对此，我们应该感觉到前途光明。因为，点H又是BC的中点。因此线段BC、BC、BC之间存在着丰富的数量关系（如设，则，.），这些数量关系可以帮助我们解决问题。【法二】作AHBC、垂足为点H，易证， 从而，即. 设，则，. 于是，即. 所以 ，从而，.小结：几何证明的基本思考角度与思考次序：看条件，根据已知条件在图上适当做标记，并思考条件的可能作用；看结论，分析要证明结论成立，需要证什么。分析的过程是一个逆向的思维过程，即逐
10、步地分析使得结论成立的各种可能条件，从中寻找与题设及图形结构相匹配的条件和路径。同时，我们还应该关注图形，事实上，几何证明题不仅仅只有“条件”和“结论”两个要素，图形是几何证明题的又一个非常重要的组成部分。下图反映了我们的思维角度与思维次序。已知条件要证结论图形根据已知条件，在图上做标记；结合图形，思考条件的作用；观察图形，形成直觉判断。分析要证结论成立，常用的方法与需要的条件；结合已知条件和图形结构，对方法进行比较和筛选。接下来，我们以最近研究比较多的“证明线段比例式（或乘积式）”为例，进一步梳理几何证明的思维次序与方法（以思路分析为主，证明过程略）。要证线段成比例想证三角形相似观察比例式中
11、四条线段所处的位置（横看、竖看）证三角形相似替换在前面的复习过程中，老师和同学们一起梳理过，要证明线段成比例（乘积式总是先化为比例式），我们常常会想证相似。进而，我们会观察比例式中四条线段所处的位置（横看或竖看），找到两个三角形，然后想办法去证明这两个三角形相似。如果不成功，我们会想办法替换，替换的方式有两种，一种是替换线段，一种是替换比式。在刚才的讨论中，我们来看具体的例子。例2如图，已知D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，CD与BE相交于点F，求证：【分析】（一）根据上述讨论，首先，我们会看已知条件，根据已知条件在图上适当做标记，思考条件的作用。条件中的哪些部分引起你更多的注意？应该是
12、“”条件“”引起你怎样的思考？它可能会有什么作用？同学们肯定会说看到这个条件，我会想到相似。那么，是哪两个三角形相似？我们会“横看”：分子上，线段、，是的两条边；分母上，线段、，是的两条边； 又是公共角，从而我们得到。我们还可能“竖看”：等式左边的比式中，线段、，是的两条边；等式右边的比式中，线段、，是的两条边； 又是公共角，从而我们得到。所得到的相似三角形是否有用，又有怎样的作用，我们可能还要看目标的需要。（二）看图形结构。该图形中有好几个基本图形，看到这些基本图形，我们也会有相似三角形的直觉判断。ABCDEABCDEBCDEBCDE（三）看结论，分析要证明结论成立，需要证什么。要证的的结论
13、是，即要证明四条线段成比例。因此，我们想证三角形相似。证哪两个三角形相似呢？我们观察比例式中的四条线段，“横看”或者“竖看”。我们就会看到这四条线段分别是与的两条边（横看），或者分别是与的两条边（竖看）。因此我们就想要证明或者.然后，我们应该在需要证明的结论与已知推出的结论之间不断地观察与比较，然后找到解决问题的路径。通过上述几方面的分析，我们不难找到本题的证明思路： 事实上，对本题来说，上述几方面的思考，任何一方面都可能帮助我们找到解决问题的办法。当然，如果问题复杂一些，就可能需要多方面的思考，并把这些思考有机地结合起来，而且这三方面的思考可能是交替使用、多次反复的。例3. 如图：已知ABC
14、，AD平分BAC，F为AD中点，过点F作AD的垂线，交AB于点G，交AC于点H，交延长线于点，求证： 我们依然按照上述的思考步骤和方法进行思考。AHBCDEFG【分析】（一）看已知条件，根据已知条件在图上适当做标记，思考条件的作用。根据条件，我们在图上做出标记（如图）。什么条件引起你更多的注意？部分同学可能会说，角平分线、线段的垂直平分线等条件，会让我们想到角平分线的性质和线段垂直平分线的性质。（二）看图形结构。初看，可能没有什么引起大家特别注意的地方。（三）看结论，分析要证明结论成立，需要证什么。要证的的结论是，立即化为比例式。因此，我们想证三角形相似。我们观察比例式中的四条线段（“横看”与“竖看”）。我们发现这四条线段都位于同一条直线上，因此，不可能是某个三角形的两条边。这时，我们怎么办？我们常规的思考是什么？ 我们常规的思考是考虑“替换”。那么替换什么？又如何进行替换呢？我们说可
