第7章多项式环.doc

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1、第7章多项式环第7章 多项式环 1 一元多项式环观察下列表达式有什么不同之处： 其中是一个符号； (1） 其中; （2） 其中。 （3）由及，从（2）、（3）式分别得出 （4） （5） （4）的左右两边相等，但所含有的关于的项却不相同；同样（5）的左右两边相等，但所含有的关于的项却不相同。对于，当是一个符号时，只能是 ，即相等的两个表达式含有相同的项，此时称为一个多项式,而都不能称为多项式。1。 多项式的定义 设是一个数域,是一个不属于的符号（也称为不定元）。任意给定一个非负整数 在中任意取定，称表达式 （6） 为数域上的一个一元多项式，其中称为次项，常数项也称为零次项。 两个一元多项式相等当

2、且仅当它们的同次项的系数对应相等。系数全为零的多项式称为零多项式，记为 . 2。 多项式的次数：用表示(6）式中的多项式。如果,则称为多项式的首项，称为的次数，记为 亦即，一元多项式的次数就是系数不为零的项的最高次数。当首项系数时，也称为首一多项式（补充）。 零多项式的次数规定为，即；非零常数是零次多项式，次数为零。约定: 3. 多项式的运算 记数域上的所有一元多项式组成的集合为。在中任取， ，不妨设，则 其中时, (7） （8）称是与的和与差，称是与的积。 多项式的加法与乘法满足下列运算法则：，有1加法交换律：;2加法结合律:；3加法有零元:；4加法有负元：设，定义，称为的负元，它满足 5乘

3、法交换律：；6乘法结合律：;7乘法有零单位元1:;8乘法对加法满足左、右分配律： ； 。注意 试比较整数的加法与乘法、矩阵的加法与乘法,和多项式的加法与乘法的相似之处。又再比较它们和向量的运算之间的差别.命题1（次数定理） 任给，都有 ； （10） (11）9乘法消去律：（1）由或；等价于由（2)由且 证明：(1）由有,即.由 这只能是或，即或。 (2）。由（1）当时可推出，即.4。环的定义 设是一个非空集合，如果它有两个代数运算，一个叫做加法，记作,另一个叫做乘法，记作；并且这两个运算满足下面6条运算法则：,有1加法交换律：;2加法结合律：;3加法有零元:存在，使得；4加法有负元:对于，中有

4、元素，使得，称是的负元，记作,从而有; 5乘法结合律：；6乘法对加法满足分配律： ; 。则称是一个环. 最典型的环有:整数集合、全体一元多项式的集合和全体阶方阵的集合,分别称为整数环、一元多项式环和全阵环.子环：环的一个子集如果也构成一个环，则称它为的一个子环. 子环的判定定理:环的一个非空子集成为一个子环的充分必要条件是，对于的减法与乘法都封闭,即 。 给定，称为的一个多项式,它是由多项式将换成得到的.的多项式全体记为，即 。不难验证满足环定义中的6条,因而是一个环，且是的子环。5. 的“通用性质” “通用性质”不要求详细掌握，只要求了解，具体含义见教材第7页中间一段的文字解释：设是一个有单

5、位元的交换环,则中所有通过加(减）法和乘法表示的关系式，在不定元用中的任何一个元素代人后仍然保持成立. 分别取和，举例说明。 例1 设是数域上的阶幂零矩阵,其幂零指数为 令, 证明可逆，并且求. 2 整除性与带余除法1。 整除的定义 设，如果存在，使得，则称整除，记作； 否则，称不能整除,记作因式与倍式：当整除时,称为的因式，称为的倍式。注：1当且仅当，即只有,当时，不整除； 2，都有； 3，都有。 用表示中全体非零常数组成的集合.2.多项式的相伴： 在中， 如果同时有，成立，则称与相伴，记作。命题1 在中,当且仅当存在,使得 命题2 在中，如果，则对于任意,有 3。 带余除法：当不能整除时，

6、有 定理3（带余除法定理） 对于中的任意两个多项式与，其中，在中都存在唯一的一对多项式与，使得 ，其中 (3） （3)式中的称为除（或被除）的商式，称为除的余式。证明 分存在性和唯一性两部分证明。(1）存在性 记 注意有 1当时，。取，有 ,定理成立。 2当,且时。取，,，定理成立。 3当，且时。对作数学归纳法。 假设对次数小于的多项式，命题的存在性部分成立. 现在看次数为的多项式。采用“首项消去法”。 设，的首项分别是。于是的首项是（与的首项相同）。令 , （4) 则 根据归纳假设,存在,使得 ，且 (5) 将（5）式代入（4)式，得 （6） 令，则 ，且 （7) 根据数学归纳法原理,定理3

7、 的存在性部分得证. （2）唯一性。 设，使得 ，且 （8），且 (9） 从(8)，（9）得 （10） 于是由次数定理有 (11） 从而，只能，于是,即 从而又有 唯一性得证。定理3（带余除法定理） 对于中的任意两个多项式 与，其中,在中存在唯一的一对多项式，使得 ，且 （3）（3）式中的称为除(或被除)的商式，称为除的余式。例1 用除，求商式和余式，其中 , .推论4 设,且,则当且仅当除的余式为零. 注意：推论4给出了判断两个多项式是否整除的方法,即用带余除法,只要余式为零，则它们整除,否则,不整除。4。 综合除法： 当除式是一次多项式的形式时,带余除法可以简化为所谓的“综合除法”。它主要

8、的简化步骤是：将带余除法中含有不定元的运算过程，简化为只需用的系数和进行运算的过程。例2 设 ，求除的商式和余式。 本节最后，设， 是一个包含数域的数域（称是的扩域，如复数域实数域有理数域）.此时，和也可以看做是中的多项式。问：与在中做带余除法的商和余式,和与在中做带余除法的商和余式是否相同？答案是肯定的：即商和余式是相同、不变的。 理由如下：设在中做带余除法的结果如下 ,且 （3）其中，为商式,为余式。由于，因此也可以看做中的多项式,因而（3）式也可以看做是在中进行的。但是，由带余除法定理，满足(3）式的和是唯一的。因此，无论在中还是在中，除的商式和余式都是和。即 “带余除法的结果不因数域的

9、扩大而改变。”由于 当且仅当除的余式为零.由此又可得命题5 设,数域，则在中， 在中，。即“多项式的整除性不因数域的扩大而改变。” 3 最大公因式 在整数中，2,3，6都是12与18的公因数,其中6 是最大公因数，记为(12,18）=6.其它公因数2,3与 最大公因数6之间满足关系：,即一般的公因数总是最大公因数的因数。可见，这里的“最大不是指数的大小,而是按整除关系来比较。另外6还可以写成12 与18的组合形式：6=-112+118。 在多项式的运算中,也有类似这样的现象。1。公因式:在中，如果既是的因式，又是的因式，则称是与的公因式. 2. 最大公因式：如果同时满足两个条件 是与的一个公因

10、式; 对于与的任何一个公因式， 都有，则称是与的一个最大公因式。 注意：两个多项式的最大公因式不是唯一的。因为如果是与的一个最大公因式,则乘以任何一个非零常数后也是最大公因式. 特殊情形：0与0的最大公因式只能是0; 是与0的一个最大公因式。 3。 最大公因式的性质 命题1 设，如果与的所有公因式组成的集合（记为）等于与的所有公因式组成的集合（记为)， 则与的最大公因式的集合(记为）等于与的最大公因式的集合（记为）. 即相当于由推出。 证明 见附页 推论2 设，是中非零常数，则与的最大公因式的集合等于与的最大公因式的集合. 引理1 在中，如果有等式 ，(这里不要求),则与的最大公因式的集合等于

11、与的最大公因式的集合。 4。最大公因式的存在性及求法 定理3 对于中的任意两个多项式与,都存在它们的一个最大公因式，并且可以表示成与的一个组合，即有中的多项式与,使得 (2） 证明 见附页 两个给定多项式的最大公因式不是唯一的，但由最大公因式的定义，两个最大公因式一定是相伴的,于是任何两个最大公因式之间只差一个非零常数倍.约定：与的首项系数为1的最大公因式记为，它是由和唯一决定的。例1 设 ， 求，并且把它表示成与的组合。例2 设 , 求，并且把它表示成与的组合。5. 多项式的互素：中两个多项式，如果 ，则称与互素。 如果两个多项式互素，那么它们除去零次多项式外 没有其他的公因式。 定理4（互

12、素的判定定理） 中两个多项式与互素的充分必要条件是，存在中的多项式，使得 (3） 互素的性质定理 性质1 在中，如果，且， 则 . 性质2 在中，如果,，且， 则 。性质3 在中,如果， 则 6。 多个多项式的最大公因式与互素 定义 在中，如果多项式能整除多项式中的每一个，那么叫做这个多项式的一个公因式。设是的一个公因式,且具有性质：的每一个公因式都是的因式,则称为的一个最大公因式。 个多项式的最大公因式一定存在，且在相伴意义下是唯一的，用表示首项系数为1的那个最大公因式。 求法如下： 当时，称互素(个多项式互素）.注意：个多项式互素与两两互素不同。两两互素一定个多项式互素，但个多项式互素不一定两两互素. 例如，设 ，