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1、第十五章 分 式15.1.1 从分数到分式教学目标1了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系2能确定分式有意义的条件教学重、难点分式的概念教学过程设计一、创设问题，激发兴趣章引言:一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？问题1顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？顺流航行的速度=轮船在静水中的速度+水流速度； 逆流航行的速度=轮船在静水中的速度-水流速度问题2这个问题的等量关系是什么？顺流航行90 km所用时间=逆流航行60 km所用时间问
2、题3应怎样设未知数？如何根据等量关系列出方程？ 解：设江水的流速为v km/h.依题意得：追问式子与分数有什么相同点和不同点？它们与你学过的整式有什么不同？问题4填空：（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为 cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为 cm.问题4填空：（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为 cm；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 . 追问1上面问题中得到的式子，哪些不是我们学过的整式？ 追问2式子，与以前学过的整式不同，这些代数式有什么共同的特征？二、知识应用，巩固提高分式的定义：一般地，如果A
3、，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式（fraction）.分式中，A 叫做分子，B 叫做分母.问题5 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？为什么？例1下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？三、应用提高、拓展创新课本128页练习1、2、3题四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）你能举例说明什么是分式吗？（3）如何确定分式有意义的条件？ 五、布置作业：教科书习题15.1第2、3题.15.1.2 分式的基本性质（第一课时）教学目标1了解分式的基本性质，体会类比的思想方法2掌握分式的约分，了解最简分式的概念教学
4、重、难点分式的基本性质和分式的约分教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1下列分数是否相等？追问这些分数相等的依据是什么？问题2你能叙述分数的基本性质吗？分数的基本性质：一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变问题3你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？问题4类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的 整式，分式的值不变追问1 如何用式子表示分式的基本性质？二、知识应用，巩固提高追问2应用分式的基本性质时需要注意什么？（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算； （2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；（
5、3）所乘（或除以）的整式应该不等于零. 例2填空：问题5 观察上例中（1）中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式例3 约分:追问1由上例你能归纳出在分式中，找分子和分母的公因式的方法是什么吗？ 追问2如果分式的分子或分母是多项式，那么该如何思考呢？ 三、应用提高、拓展创新教科书132页 练习1四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）运用分式的基本性质时应注意什么？ （3）分式约分
6、的关键是什么？如何找公因式？ （4）探究分式的基本性质和分式的约分的过程，你认为体现了哪些数学思想方法？ 五、布置作业：教科书习题15.1第4、6题.15.1.2 分式的基本性质（第二课时）教学目标1了解最简公分母的概念，会确定最简公分母. 2通过类比分数的通分来探索分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想.教学重、难点准确确定分式的最简公分母教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1通分：追问1分数通分的依据是什么？ 追问2如何确定异分母分数的最小公分母？问题2填空：像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.追问1你认为
7、分式通分的关键是什么？分式通分的关键是找出分式各分母的公分母.追问2上面问题中的两个分式的公分母是什么？为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母. 追问3两个分式的最简公分母是如何确定的？ 最简公分母的确定方法：取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母 二、知识应用，巩固提高例通分：三、应用提高、拓展创新教科书132页 练习2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）分式通分的关键是什么？（3）分式通分时，确定最简公分母的方
8、法是什么？五、布置作业：教科书习题15.1第7题15.2.1 分式的乘除（第一课时）教学目标1理解分式的乘除法法则，体会类比的思想. 2会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理教学重、难点分式的乘除法法则的运用教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？（1）这个长方体容器的高怎么表示？（2）容器内水面的高与容器内的水所占容积间有何关系？容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所占容积的比相等.问题2大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的
9、工作效率的多少倍？（1）本题中出现的“工作效率”的含义是什么？（2）大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？观察上述两个问题中所列出的式子中，其中涉及到分式的有哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？问题3 计算：在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？二、知识应用，巩固提高分式的乘除法法则如何用文字语言来描述？乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母.除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.例1计算：三、应用提
10、高、拓展创新教科书138页 练习2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有什么区别和联系？五、布置作业：教材习题15.2第1题；15.2.1分式的乘除（第二课时）教学目标1.理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性.2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算. 教学重、难点分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算教学过程设计一、创设问题，激发兴趣例1计算：练习1计算: 思考你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？猜想：n 为正整数时?你能写出推导过程吗？试试看你能用文字语言叙述得到的结论吗？分式的乘方法则：一般地，当
11、n 是正整数时，这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方二、知识应用，巩固提高例2计算：例3计算：分式的乘除、乘方混合运算与分数的乘除、乘方混合运算有什么联系和区别吗？练习2计算：三、应用提高、拓展创新教科书139页练习1，2题四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）运用分式乘方法则计算的步骤是什么？它与整式的乘方运算有什么区别和联系？ （3）分式的乘方与乘除混合运算的运算顺序是什么？五、布置作业：教科书习题15.2第3题15.2.2分式的加减（第一课时）教学目标1理解分式的加减法法则，体会类比思想 2会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想教学重、难点分式的加减法法则教学过程设计
12、一、创设问题，激发兴趣问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？问题22009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？（1）什么是增长率？（2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？ （3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？分式的加减法与分数的加减法类似，它们实
13、质相同观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？ 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减二、知识应用，巩固提高例计算： 三、应用提高、拓展创新课本141页 练习1，2题四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是怎么引出分式加减法法则的？（3）在进行分式的加减运算时要注意哪些问题？五、布置作业：教科书习题15.2第4、5题15.2.2分式的加减（第二课时）教学目标1理解分式混合运算的顺序2会正确进行分式的混合运算3体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值教学重、难点分式的混合运算
14、教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？分式的混合运算顺序：“从高到低、从左到右、括号从小到大”例1 计算：这道题的运算顺序是怎样的？通过对例1的解答，同学们有何收获？对于不带括号的分式混合运算：（1）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；（2）计算结果要化为最简分式二、知识应用，巩固提高例2 计算：通过对例2的解答，同学们有何收获？对于带括号的分式混合运算：（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；（2）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（3）计算结果要化为最简分式三、应用提高、拓展创新练习1计算：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）分式混合运算的顺序是什么？我们是怎么得到它的？（3）在进行分式混合运算时要注意哪些问题
