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1、圆锥曲线的方程与性质1椭圆(1) 椭圆概念平面内与两个定点F、F2的距离的和等于常数2a (大于I FF I )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆1 2 1 2的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有I MF I + I MF I二2a。12x2 y2y 2 x2椭圆的标准方程为：一 + 1 = 1( a b 0)(焦点在x轴上)或二+厂=1( a b 0)(焦点在y轴 a2 b2a 2 b2上)。注：以上方程中a,b的大小a b 0，其中b2 = a2 -c2 ；x2 y 2y2 x2在一+= 1和 +厂=1两个方程中都有a b 0的条件，要分清焦点的位置，只要看
2、X2和y2的分 a2 b2a2 b2x2 y 2母的大小。例如椭圆一 + 一 = 1( m 0，n 0，m主n )当m n时表示焦点在x轴上的椭圆；当m n时 mn表示焦点在y轴上的椭圆。(2) 椭圆的性质x2 y 2 范围：由标准方程一 + = 1知I xI a，I y I c 00 e 1，且e越接近1, c就a越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0,从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a = b时，c = 0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2 + y2 = a2。2双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是
3、双曲线（II PF I -1 PF 11= 2a ）。 12注意：式中是差的绝对值，在0 2a I FF I时，II PF I -1 PF II= 2a不表示任何图形；两定点F,F叫做双曲线的焦点，I FF I叫做1 2 1 2 1 2 1 2焦距。（2）双曲线的性质x 2 y 2 范围：从标准方程-厂=1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线x = a的外侧。即a2 b2x2 a2，|X a即双曲线在两条直线x = a的外侧。 对称性：双曲线-芦=1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点a2 b2x2 y 2是双曲线-1 = 1的对称中心，双曲线的对称中心叫
4、做双曲线的中心。a2 b2x 2 y 2 顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线-=1的方程里，对称轴是x, y轴，所a2 b2x2 y 2 以令y = 0得x = a，因此双曲线和x轴有两个交点A （a,0）Aa,0），他们是双曲线一厂=1的顶点。2a2 b2令x = 0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个 端点。2）实轴：线段A A叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段B B叫做双22曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。 渐近线：注意
5、到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线-二=1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。a2 b2 等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a二b ；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y = x ； （2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其 他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征a = b，则等轴双曲线可以设为：x2 - y2二九（九H 0），当九0时交点在x轴，当九 0）叫做抛物线的标准方程。pp注意：它表示的抛物线的焦点在x轴
6、的正半轴上，焦点坐标是F（ 2,0），它的准线方程是x = -2 ；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其 他几种形式：y2 =-2px，x2二2py，x2 =-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如表：标准方程y 2 二 2 px (P 0)y 2 二-2 px(P 0)x 2 二(P :二 2py 0)x2 二-2 py (p 0)图形r,I厶ol焦点坐标(f ,0)(-彳,0)(0,f)(0,-彳)准线方程x 一 P2x =匕2y = -P2y =匕2范围x 0x 0y 0时，一元二次方程x2
7、+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(一，-)半径2 2DE是 P D 2 + E 2 4 F。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为（x+） 2+（y+） 2= D 2 + E 2 - 4F2 2 2_D E 当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-，-)；2 2 当D2+E2-4FV0时，方程不表示任何图形.(3) 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x ,y )，则I MClVrO点M在圆C内，l0 0MC I =r O 点 M 在圆 C 上，|MC lr O 点 M 在圆 C 内，其中丨 MCI =(x -a)2 + (y -b
8、)2。0 0(4)直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交O有两个公共点；直 线与圆相切O有一个公共点；直线与圆相离O没有公共点。I Aa + Bb + C直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d =一:A2 + B 2与半径r的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0 VeVl时，轨迹
9、为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当el时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1. 到两定点F 1,F2的距离之 和为定值2a(2a|FiF2|)的点的轨迹2. 与定点和直线的距离之 比为定值e的点的轨迹.(0e1)1. 到两定点F,F2的距离之差的 绝对值为定值2a(02a|FF2l)的点的轨迹2. 与定点和直线的距离之比为 定值e的点的轨迹.(e1)与定点和直线的距离相等的 点的轨迹.轨迹条件点集：（Ml=2a, I FIMF +IMF I1 2F IV2a.1 2点集：M= 2a,I MF I-IMF I .1 2IFF I2a.2 2点集M I线I MF I =点M到直 l的距离.图形1fl.7T1*9J4方程标准 方程X 2y 2 = 1 (a b 0) a 2
