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1、第二章 混沌的基本概念和分析方法第二章 混沌的基本概念和分析方法2.1 引言随着在众多领域发现了混沌现象的存在，人们对支配混沌现象的背后机理产生了浓厚的兴趣，混沌机理的研究也逐渐兴起，成为一个具有巨大前景的国际前沿课题和学术研究热点。对混沌的研究深刻地揭示了自然界和人类社会普遍存在的复杂性是有序和无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓广了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识，对建立新的自然观和科学观有重要的启示。而对混沌机理的深入研究，有助于人们进一步深刻了解混沌现象，控制混沌和利用混沌为人们服务。2.2奇异吸引子奇怪吸引子是混沌的特有性质。怎样来刻画奇怪吸引子的特征，是研究混沌的重要方法
2、。吸引子是指在耗散动态系统在经过了足够长时间的瞬间过程以后，在相空间内所趋向的有限区域。一组状态方程的稳态解就是一个简单的吸引子，而奇怪吸引子是指对初始条件敏感的吸引子，它一般具有如下特征：1. 在整体上，系统是稳定的，也就是说，经过足够长的瞬间态过程，吸引子外的一切运动都趋向于吸引子所在的有限局域相空间。但在局部上，吸引子内有无穷多个不相交的轨道，其相邻轨道是相互排斥而且按指数分离的。吸引子内部的运动是不稳定的。2. 奇怪吸引子的运动轨道具有无穷的伸展、压缩和折叠性，使得奇怪吸引子空间结构非常复杂，且对初始条件极为敏感。3. 吸引子不一定填满某一有限区域，往往具有一些空隙，使得奇怪吸引子具有
3、无穷多嵌套的自相似结构。4. 奇怪吸引子具有分数维、正的Lyapunov指数、正的测度熵，以及功率谱连续等统计特征，且具有一切混沌的通有性质，如Feigenbaum常数。2.3 通往混沌的三大途径及分叉现象从规则运动通向混沌的途径是多种多样的,目前研究的比较多的主要有三种。2.3.1 倍周期分叉进入混沌规则运动经过周期不断倍分叉过程，最终进入混沌状态。图2-1是Linsay P.S观察到倍周期分叉的非线性振荡电路4，由一个简单的RLC振荡电路和一个变容二极管组成。变容二极管的电容是端电压的函数，即, 式中 为常数。由图2-1可知，其电路状态方程为： (2-1)通过频谱仪测量，当外加信号发生器输
4、出电压较低时，系统有一个确定的共振频率。在逐渐增加输入电压V的过程中，当V达到阀值时，输出电压就出现二分频，四分频，八分频，十六分频分频。当V达到时，系统最终进入混沌状态。系统经过倍周期分岔进入混沌时，其数量是具有某种规律的。如果把系统每次分岔所对应的参数值分别记为等，那么对于下式 (2-2)当时，上式会存在一个极限称之为Feigenbaum常数。它是一个与具体倍周期分岔系统无关的普适常数，是混沌现象深层规律性的一种体现。2.3.2 阵发混沌途径规则运动经过阵发混沌的中间过程进入混沌运动。阵发混沌4是指系统从有序转化为混沌状态时，在非平衡非线性状态下，当某些参数的变化达到某一临界阀值时，系统出
5、现不规则行为随机的交替现象，时而有序，时而混沌，在两者之间振荡。当有关参数继续变化时，整个系统会由阵发混沌发展成为混沌。阵发混沌最早出现于Lorenz模型，研究得比较详细的是在非线性一维映射上，如Logistic方程。阵发混沌与倍周期分岔产生的混沌是孪生现象，能观察到倍周期分岔混沌的系统，一般也能观察到阵发混沌现象。2.3.3 准周期分叉产生混沌准周期分叉道路与前面倍周期分又和阵发性道路相比，规律性知道得较少，但近年来已引起了关注Landau和Hopf曾经猜测湍流的发生是经过无穷次准周期分叉准周期分叉可以用环面分叉来描述，将不动点、极限环分别看作0环面、1环面，表示为，则上述通往混沌(相应于湍
6、流)的转变可以表示为混沌，且每一次分叉可以看作是一次Hopf分叉，分叉出一个新的不可公约的频率2.4 混沌的统计方法经过上个世纪7080年代人们对混沌机理的不断探索和利用计算机对混沌现象进行计算机模拟、仿真，人们对混沌有了进一步的认识，也形成了一些主要的研究方法。2.4.1 相空间重构方法相空间重构方法5是由Grutchfield, Farmer, Pachard 及Show 四人小组提出来的，Takens用数学为之奠定了可靠的理论基础，现在已成为在许多领域中的研究方法之一。其基本思想是系统中的任一分量的演化都是由和它相互作用的其他分量决定，这些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程之中。利
7、用相空间重构方法，可以在一定条件下保持其几何性质的不变，如吸引子的分数维、Lyapunov指数等等。为了重构一个等价的状态空间，只需考察一个分量，并选择一个适当地延迟时间，将时间序列嵌入到一个较高维的状态空间中。然后，计算系统的维数，Lyapunov指数，判断这些数据背后是否存在吸引子，从而判断是否存在混沌现象。四人工作小组用相空间重构法所做的水龙头实验证明了水龙头的水滴流速存在混沌吸引子。2.4.2 Lyapunov指数和测度熵kLyapunov指数是用来度量运动对初始值敏感的程度的量。正的Lyapuno指数表明两条相互靠近的运动轨迹按指数速度分开，也就是对初始值敏感。所以，正的Lyapun
8、ov指数意味着混沌，是刻画混沌系统的主要特征。在一维映射： （23）考虑初始值和它的邻近值，则映射（23）作一次迭代后，两点之间的距离为： (2-4)n次迭代后，两点之间的距离为： (2-5) (2-6)就称为Lyapunov指数。当时，两点一指数分离，即对初始值敏感。对高维动力系统存在多个Lyapunov指数。每一个Lyapunov指数刻画了轨迹在某一方向的收敛性。高维动力系统的Lyapunov指数定义如下：在n相空间中，给定一个连续动力系统，假定初始条件中一个半径足够小的n维球体经过长时间的演变，自然变形为椭圆球。如果在t=0时刻，圆球的中心在吸引子上，椭圆球的所有主轴按最快到最慢增加速度
9、的顺序排列。那么第i个Lyapunov指数定义为： (2-7)其中：是t时刻n维椭圆球体第I维主轴半径。是0时刻圆球的半径。文献5给出了高维Lyapunov指数的计算方法。从信息论的观点来看，正的Lyapunov指数意味着信息量的损失。测度熵就是衡量系统的信息量在运动中变化的量。测度熵k的通常定义为：， 即k为所有正的Lyapunov指数之和。当k0时，为规则系统，其状态可预测；当k0时，为混沌系统，短期可预测，长期不可预测；当k=时，为随机系统，状态不可预测。2.4.3 相轨迹法利用计算机用数值法计算得出混沌吸引子的运动轨迹，然后观察混沌吸引子结构的不规则性。现在常用的数字仿真软件有MATL
10、AB和PSPICE等。用这些软件可以画出吸引子的相轨迹图，然后再对相轨迹图进行研究，得到吸引子的一些特性。2.4.4 Poincare映射方法有时用相轨迹法得到的混沌吸引子的轨迹很复杂，很难加以研究。这时可以采用Poincare映射方法4。在n维相空间取适当的n1维超平面，这个平面称为Poincare截面。记录轨道通过Poincare截面的交点。这种方法是把连续动力系统化为离散动力系统去研究，而且还保持了原来连续动力系统的拓扑结构。由于Poincare截面将相空间的维数减少了一个，且其映射方程为差分方程，易于求解，所以Poincare映射方法广泛应用于非线性动力学的研究。选择适当的Poinca
11、re截面，可以看到混沌吸引子在Poincare截面上是沿一条线段或曲线弧的分布点集。2.5 混沌吸引子的周期轨道理论20混沌吸引子是混沌的特有特征。了解混沌吸引子的结构，无疑对混沌的特征、性质、分类和预测等具有重要的指导意义，而这些也是混沌机理的重要研究内容。混沌机理通常是阐明混沌产生的原因及其运动规律的理论，即混沌产生机理，如马蹄映射，Shilnikov定理等等。这些都是研究混沌机理的著名理论。但由于马蹄映射是完全理想化的，不能用于混沌的特征化。在实际系统中，寻找Shilnikov同宿相轨也是非常困难的。所以，目前仍然缺乏一种深入理解混沌机理，阐明混沌吸引子结构而且又能直接应用于工程实践的理
12、论框架。华南理工大学的丘水生教授近年来一直致力于混沌机理的研究，已取得了一些重大进展。在国内核心期刊发表了一些高水平的文章，且有数篇在国际著名刊物和会议论文集上发表。丘水生教授提出的混沌机理和混沌吸引子的细胞模型21和周期轨道理论22，能够形象的表征混沌吸引子的许多具体细节，并且可直接应用于工程问题，在一定程度上弥补了上述不足。尤其是，它涵盖了Shilnikov定理（后者的条件为前者的特殊情况），具有重要的理论意义。2.5.1 混沌吸引子的周期轨道结构 在混沌吸引子的鞍周期轨道（SPO）邻域中轨道是对初始条件极敏感的非周期轨道。这种轨道形成了该SPO邻域中的混沌吸引子的一部分，或者是在该邻域停
13、留不到一个循环周期的时间就走到其他SPO邻域去的轨道。图22来说明一个单核混沌吸引子的周期轨道结构。假设主SPO（图中的L）位于平面S上，而鞍焦平衡点不在S上，那么混沌吸引子的相轨在L和的邻域中就会形成环流运动，在主SPO附近的螺旋相轨段与其后续单向运动相轨段的分界点（空间分叉点）形成空间分叉区。而靠近的单向运动相轨段与其后续螺旋运动相轨段的分界点即是运动相点对的最近点。图22 混沌吸引子的周期轨道结构其中，一段螺旋相轨在圆锥状曲面上，而其它未示出的周期m轨道的螺旋运动位于他们各自所在的一个圆锥状曲面上。这样，混沌吸引子的周期轨道就形成了一个无限分层的结构。若一个SPO的各个螺旋相轨段分散于n
14、个圆锥状曲面上，则此SPO称为n层SPO。若一个SPO是一个相应于分谐波振荡或准周期振荡的环面吸引子，则被这吸引子吸引的螺旋相轨就位于一个螺旋形“管子”表面上，而这个管子表面就相应于上述的一个圆锥状曲面。一个移动相点通过空间分叉区时会从原来的同步轨道邻域随机地跳跃到另一个周期轨道的邻域，这样就形成了一段混沌轨道。类似的过程相继发生，就出现了一个混沌吸引子。2.5.2 混沌吸引子的细胞模型 根据上面关于周期轨道结构的阐述，现在可以提出一个混沌吸引子的形象化模型，称为混沌吸引子的细胞模型。我们把相空间中的混沌吸引子看作是由一个或多个混沌细胞所组成的，而每一个细胞则是由无限多的子细胞组成的。每一个混
15、沌细胞由一个混合吸引子及其邻域的相轨组成。最简单的混沌吸引子只包含一个细胞，其细胞核为，主骨架为主SPO，而细胞体由其无限多个SPO邻域的相轨簇构成。混沌细胞中的每一个SPO及其邻域的相轨即是子细胞。一个子细胞中的SPO是该子细胞的骨架，而一个混沌细胞中的所有SPO组成了该细胞的骨架。任何两个子细胞由单向运动相轨段联接起来，这种相轨段称为键（相应的波形称为键波）。像混沌细胞由无限多个n层子细胞组成那样，每一个子细胞本身包含无限多个n层子细胞。因此混沌吸引子具有分形的无限分层结构。由两个细胞组成的混沌吸引子是简单混沌吸引子的一个基本类型，其两个细胞体由键相轨联接起来，称为双细胞混沌吸引子，如图2-3所示。它们自身所有的键带中，大部分或一部分相轨变成连接两个涡卷的键带。在原理上，如果联接两个细胞的两簇单向键具有相反的方向，任何两个混沌细胞（正向或反向旋转的）都可以构成一个双细胞吸引子。如果一个混沌吸引子中含有两个平衡点而只有一个主SPO，则称之为双核单细胞混沌吸引子，
