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1、第四章 恒定磁场4-1.真空中边长为a的正方形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场。解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。由例4-1知，长为a的线电流I在平分线上距离为a/2的点上的磁感应强度为 因而，边长为a的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为 题4-1图 题4-2图 4-2. 真空中边长为a的正三角形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场。解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。由例4-1知，长为a的线电流I在平分线上距离为b的点上的磁感应强度为 对于边长为a的正三角形，中心到每一边的距离为，因而，边长为a的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为 4-3. 真空中导线绕成的回路形状如图所示，电
2、流为I。求半圆中心处的磁场。 (c) 题4-3.图解：设垂直于纸面向内的方向为z方向。由例4-2知，半径为a的半圆中心处的磁场为 （1） 因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此 （2） 由例4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a处的磁场为 因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和 （3） 本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即 4-4. 在真空中将一个半径为a的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。电流为I，求半圆弧心处的磁场。解：本题磁场为两相同半径但平面法线垂直的半圆环的磁场之和 、分别为两半圆环平面的法向单位矢。4-5. 真空中半径为a的无
3、限长导电圆筒上电流均匀分布，电流面密度为，沿轴向流动。求圆筒内外的磁场。解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布。因此无限长导电圆筒内的磁场为零；无限长导电圆筒外的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆筒做一半径为的圆环，利用安培环路定律 在圆环上磁场相等，因此 4-6.如果上题中电流沿圆周方向流动，求圆筒内外的磁场。解：由于导电圆筒内为无限长，且电流沿圆周方向流动，因此导电圆筒外磁场为零，导电圆筒内磁场为匀强磁场，且方向沿导电圆筒轴向，设为 z方向。利用安培环路定律，取闭合回路为如图所示的矩形，长度为L，则 因此 题4-6图4-7.真空中一半径为a的无限长圆柱体中，电流沿轴向
4、流动，电流分布为，求磁感应强度。解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为的圆环，利用安培环路定律 左边 右边 因此有 4-8.在真空中，电流分布为 求磁感应强度。解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此磁场可用安培环路定律计算。围绕z轴线做一半径为的圆环，利用安培环路定律 左边 右边 因此有 4-9.已知无限长导体圆柱半径为a，其内部有一圆柱形空腔半径为b，导体圆柱的轴线与圆柱形空腔的轴线相距为c，如图所示。若导体中均匀分布的电流密度为，试求空腔中的磁感应强度。解：利用叠加原理，空
5、腔中的磁感应强度为 为电流均匀分布的实圆柱的磁感应强度；为与此圆柱形空腔互补而电流密度与实圆柱的电流密度相反的载流圆柱的磁感应强度。利用安培环流定律 式中、分别为从圆柱中心轴和圆柱空腔中心轴指向场点的矢量。因此 为从圆柱中心轴指向圆柱空腔中心轴的矢量。 习题图4-9 4-10.已知真空中位于xy平面的表面电流为，求磁感应强度。解：由于在无限大的平面上有均匀电流，因此产生匀强磁场。磁场方向在y方向，跨电流面取一长为L的矩形回路，利用安培环路定律得 因此 写成矢量形式为 题4-10图4-11.宽度为w的导电平板上电流面密度为，如图所示，求磁感应强度。 题4-11图解：在空间取场点，在导电平板上位置
6、取宽度为的细长电流，在场点产生的磁场为 导电平板上的电流产生的总场为 4-12.半径为a的均匀带电圆盘上电荷密度为，圆盘绕其轴以角速度旋转，求轴线上任一点的磁感应强度。解：带电圆盘绕其轴以角速度旋转，其上电流密度为。在带电圆盘上取宽度为的小环，电流为，由例4-2知，在轴线上产生的磁场为 旋转带电圆盘在轴线上产生的磁场为 4-13.计算题4-2中电流的矢量磁位。解：首先计算载电流为I、长度为的直线在距离为d处的矢量磁位。设电流方向为，如图所示。 题4-13图矢量磁位为 对于等边三角形，。其中等边三角形的一条边在等边三角形中心的矢量磁位为 等边三角形的三条边在等边三角形中心的矢量磁位为 4-14.
7、 计算题4-3中电流的矢量磁位。4-15. 一块半径为a长为d的圆柱形导磁体沿轴向均匀磁化，磁化强度为，求磁化电流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。解：由于均匀磁化，圆柱形导磁体中的磁化体电流为零。圆柱形导磁体侧面的磁化面电流密度为在圆柱形导磁体表面取一宽度为的电流环带，先计算此电流环带在轴线上的磁场（例4-2），然后对积分 积分得 4-16. 一段截面为长为d的方柱形导磁体沿长度方向均匀磁化，磁化强度为，求磁化电流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。解：由于均匀磁化，方柱形导磁体中的磁化体电流为零。方柱形形导磁体侧面的磁化面电流密度为，围绕方柱形导磁体表面作如图所示的平行与xy面的矩形回路
8、，电流沿此矩形回路流动。先求高度为dz的矩形回路电流在轴线上产生的磁感应强度4-17.在磁导率为的媒质1及磁导率为的媒质2中距边界面为h处分别平行于边界平面放置相互平行的电流、，如图所示，求单位长度的载流导线所受的力。 题4-17图解：用镜像法。在计算媒质1中的磁场时，在2区的镜像位置放置镜像电流；在计算媒质2中的磁场时，在1区的镜像位置放置镜像电流。利用边界条件、，可得方程 解此方程得 电流所受的力为 电流所受的力为 为引力方向。4-18.在截面为正方形半径为的磁环上，密绕了两个线圈，一个线圈为m匝，另一个线圈为n匝。磁芯的磁导率为100，分别近似计算两线圈的自感及互感。解：近似认为密绕在磁
9、环上的线圈无漏磁，磁环中磁场相等。用安培环路定律 N为线圈匝数。取闭合回路沿磁环中心线，则磁环中 即 由于，穿过磁环截面的磁通近似为 因此 4-19.在一长直导线旁放一矩形导线框，线框绕其轴线偏转一角度为，如图所示。求长直导线与矩形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。解：长直导线到线框两边的距离分别为 长直导线通过线框中的磁场为 长直导线的磁场通过线框两边之间的磁通等于通过半径分别为、的圆弧之间的磁通，因此穿过线框的磁通可用下式计算 互感为 题4-19图 题4-20图4-20. 在一长直导线旁放一等边三角形导线框，如图所示。求长直导线与等边三角形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。解：如图所示，长直导线在等边三角形导线框面上的磁场为 穿过三角形导线框中的磁通为 互感为 4-21.在4-20题中如果两导线回路的电流分别为、，求等边三角形载流导线框所受的磁场力。解：系统的磁场能量为 对于常电流系统，磁场力为 4-22.在4-19题中如果两导线回路的电流分别为、，求矩形载流导线框所受的磁场力矩。 解：系统的磁场能量为 对于常电流系统，磁场力为
