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1、课时素养评价 三十指数函数的图象和性质的应用 (25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)关于函数f(x)=的说法中,正确的是()A.偶函数B.奇函数C.在(0,+)上单调递增D.在(0,+)上单调递减【解析】选B、C.f(-x)=-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数;当x增大时,3x,-3-x=-均增大,故f(x)增大,故函数f(x)为增函数.2.已知函数f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),则函数y=f(x)的图象是()【解析】选A.因为f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),所以
2、f(x)在(0,2)内单调递减,所以0a0,a1)的值域为1,+),则f(-4)与f(1)的大小关系是()A.f(-4)f(1)B.f(-4)=f(1)C.f(-4)0,a1)的值域为1,+),所以a1.由函数f(x)=a|x+1|在(-1,+)上单调递增,且它的图象关于直线x=-1对称,可得函数f(x)在(-,-1)上单调递减.再由f(1)=f(-3),可得f(-4)f(1).二、填空题(每小题4分,共8分)5.函数f(x)=(a0且a1)是R上的减函数,则a的取值范围是_.【解析】因为函数f(x)=是R上的减函数,所以求得00且a1.(1)若f(x)的图象经过点,求a的值.(2)求函数y=
3、f(x)(x0)的值域.【解析】(1)函数图象过点,所以,a2-1=,则a=.(2)f(x)=ax-1(x0),由x0得x-1-1,当0a1时,ax-1a-1,所以f(x)的值域为a-1,+).【加练固】函数f(x)=.(1)求f(x)的单调增区间.(2)x-1,2时,求f(x)的值域.【解析】(1)令t=x2-2x,则f(x)=h(t)=,因为h(t)=是减函数,t=x2-2x在(-,1上单调递减,在1,+)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间为(-,1.(2)由t=x2-2x,则f(x)=h(t)=,因为-1x2,所以t-1,3,所以f(x),3.8.(14分)设函数f(x)=,a是不为
4、零的常数.(1)若f(3)=,求使f(x)4的x值的取值范围.(2)当x-1,2时,f(x)的最大值是16,求a的值.【解析】(1)f(3)=,即=,所以10-3a=1,解得a=3.由f(x)=4=,即10-3x-2,解得x4.(2)当a0时,函数f(x)=在x-1,2时单调递增,则x=2时,函数取最大值=16,即10-2a=-4,解得a=7,当abaB.bcaC.bacD.abc【解析】选B.由题意得,0a1,故0aa1,a-11,故ba,=aa-b1,故bc,=1,故ca,综上知,bca.2.(4分)已知函数f(x)=若f(a-1)f(-a),则实数a的取值范围是()A.(-,B.,+)C
5、.0,D.,1【解析】选A.当x0时,f(x)=3-x单调递减,且f(x)1,当x0时,f(x)=-x2-2x+1的对称轴为x=-1,抛物线开口向下,此时f(x)在(0,+)上单调递减且f(x)1)在区间2,3上的最大值比最小值大,则a=_.【解析】因为函数f(x)=ax-1(a1)在区间2,3上单调递增,所以f(x)max=f(3)=a2,f(x)min=f(2)=a,由题意可得a2-a=,解得a=(a1).答案:4.(4分)若函数f(x)=ax(a0,a1)在-1,2上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x2在0,+)上单调递增,则a=_.【解析】当a1时,有a2=4,a
6、-1=m,所以a=2,m=.此时g(x)=-x2在0,+)上单调递减,不合题意.当0a0,a1)的图象经过点A(1,8), B(3,32).(1)试求a,b的值.(2)若不等式+-m0在x(-,1时恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为函数f(x)=bax的图象经过点A(1,8),B(3,32),所以解得(2)设g(x)=+=+,y=g(x)在R上是减函数,所以当x1时,g(x)min=g(1)=.若不等式+-m0在x(-,1时恒成立,即m.1.若2x-5-x2-y-5y,则有()A.x+y0B.x+y0C.x-y0D.x-y0【解析】选B.构造函数f(x)=2x-5-x,易得函数f(
7、x)单调递增,由2x-5-x2-y-5y,可得f(x)f(-y),所以x-yx+y0.2.定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意xD,存在常数M0,都有|f(x)|M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a+.(1)当a=1时,求函数f(x)在(-,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-,0)上是否为有界函数,请说明理由.(2)若函数f(x)在0,+)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=1+.令t=,由x1,f(x)=h(t)=t2+t+1=+,因为h(t)在(1,+)上单调递增,故f(x)h(
8、1)=3,故不存在常数M0,使|f(x)|M成立,故函数f(x)在(-,0)上不是有界函数.(2)若函数f(x)在0,+)上是以3为上界的有界函数,则当x0时,|f(x)|3恒成立.故有-3f(x)3,即-4-a2-,所以-42x-a22x-.求得-42x-的最大值为-4-1=-5,22x-的最小值为2-1=1,故有-5a1,即a的取值范围为-5,1.【加练固】已知函数y=ax(a0且a1)在1,2上的最大值与最小值之和为20,记f(x)= .(1)求a的值.(2)证明f(x)+f(1-x)=1.(3)求f+f+f+f的值.【解析】(1)函数y=ax(a0且a1)在1,2上的最大值与最小值之和为20,而函数y=ax(a0且a1)在1,2上单调递增或单调递减.所以a+a2=20,得a=4或a=-5(舍去),所以a=4.(2)因为f(x)=,所以f(x)+f(1-x)=+=+=+=+=1.(3)由(2)知,f+f=1,+f=1,f+f=1,所以f+f+f=+=1+1+1+1=1 005.
