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1、最短路线问题考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。原型：“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。1、（2009年达州）在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_（结果不取近似值）.ADEPBC2、(2009年抚顺市)如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，
2、使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D3、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，APD中边AP上的高为（ ）A、 B、 C、 D、3（动点，作A关于BC的对称点A，连AD交BC于P，涉及勾股定理，相似）4、（07南通）已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)， 第三个顶点C在x轴的正半轴上关于y轴对称的抛物线yax2bxc经过A、D(3，2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上(1)求直线BC的解析式；(2)求抛物线yax2bxc的解析式及点P的坐标；(3)设
3、M是y轴上的一个动点，求PMCM的取值范围ABO(第4题图)DxyABO(第28题图)Dxy 分析：转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题等，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。本例第三问比较灵活，需要同学们结合所学知识(特别要联想到三角形三边的关系及对称的相关知识)灵活运用 解：(1)由A(0，1) 、B(0，3)，得AB2又ABC是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上，得AB=AC=2，故OC
4、= = ，从而C( ，0)设直线BC的解析式为ykx3，则 k30,. 故k= 直线BC的解析式为y x3(2)由抛物线y =ax bxc关于y轴对称，得b=0又由该抛物线经过点A(0，1)、D(3，2)，得c =1，9a+c=2解得a= 抛物线的解析式为y = x 1在RtAOC中，OA=1，AC=2，易得ACO=30；在RtBOC中，OB=3，OC= ，易得BCO=60，故CA是BCO的角平分线从而直线BC与x轴关于直线AC对称，点P关于直线AC的对称点在x轴上，于是符合条件的P点就是直线BC与抛物线y = x 1的交点设P点的坐标为(x, x3)，代入y = x 1解得x= 或x=2 P
5、( ，0)或P(2 ，3)(3)要求PMCM的取值范围，可先求PMCM的最小值当点P的坐标是( ，0)时，点P与点C重合，故PMCM2CM显然CM的最小值就是点C到y轴的距离 因为点M是y轴上的动点，PMCM没有最大值，故PMCM2 ；当点P的坐标是(2 ，3)时，由点C关于y轴的对称点C ( ，0)，故只要求PM+M C 的最小值显然线段P C 最短，易得P C =6，故PM+M C 的最小值是6同理PMCM没有最大值，PMCM6 综上所述，当点P的坐标是( ，0)时，PMCM2 ；当点P的坐标是(2 ，3)时，PMCM6点评：本例不仅将传统的证明题改为以探究的形式进行考查，重点由论证转向发
6、现、猜测和探究，体现了新课改的理念；而且要求利用轴对称和两点之间线段最短解决有关问题；此外，题目中还要运到分类讨论的思想，难度较大在本例中，“动”是可变的条件，“静”是不变的条件，动静结合，以静制动，动中求静是解决运动问题的关键5、（09年新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点设点是平分线上的一个动点（不与点重合）（1）试证明：无论点运动到何处，总造桥与相等；（2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；yOxPDB（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，
7、使？若存在，请直接写出点的坐标 解：（1）点是的中点，又是的角平分线，3分（2）过点作的平分线的垂线，垂足为，点即为所求易知点的坐标为（2，2），故，作，是等腰直角三角形，点的坐标为（3，3）yOxDBPEFM抛物线经过原点，设抛物线的解析式为又抛物线经过点和点，有 解得抛物线的解析式为7分（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于的平分线的对称点即为点连接，它与的平分线的交点即为所求的点（因为，而两点之间线段最短），此时的周长最小抛物线的顶点的坐标，点的坐标，设所在直线的解析式为，则有，解得所在直线的解析式为点满足，解得，故点的坐标为的周长即是（4）存在点，使其坐标是或14分6、（09湖北荆门
8、）一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）（1）求该函数的解析式； 第6题（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PCPD的最小值，并求取得最小值时P点坐标7、（2009年济南）已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由ACxyBOACxyBO解：（1）由题意得2分解得此
9、抛物线的解析式为3分（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.（第24题图）OACxyBEPD设直线的表达式为则4分解得此直线的表达式为5分把代入得点的坐标为6分（3）存在最大值7分理由：即即方法一：连结=8分当时，9分方法二： =8分当时，9分(2)图)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44A(2)图)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44AB8、（2009年衢州市）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
10、4x22A8-2O-2-4y6BCD-44(2)平移抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由提示：第（2）问，是“饮马问题”的变式运用，涉及到抛物线左移。答案见参考图。方法一，A关于x轴对称点A，要使AC+CB最短，点C应在直线AB上； 方法二，由（1）知，此时事实上，点Q移到点C位置，求CQ=145，即抛物线左移145单位；设抛物
11、线左移b个单位，则A（-4-b,8）、B（2-b,2）。CD=2,B左移2个单位得到B（-b,2）位置，要使AD+C B最短，只要AD+DB最短。则只有点D在直线AB上。(第24题(2)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44A(第24题(1)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44QP解：(1) 将点A(-4，8)的坐标代入，解得1分将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)直线AP的解析式是令y=0，得即所求点Q的坐标是(，0)(2)解法1：CQ=-2-=，1分故将抛物线向左平移个单位时，AC+CB最短，2分此时抛物线的函数解析式
12、为1分解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A，B的坐标分别为A(-4-m，8)和B(2-m，2)，点A关于x轴对称点的坐标为A(-4-m，-8)直线AB的解析式为1分要使AC+CB最短，点C应在直线AB上，1分将点C(-2，0)代入直线AB的解析式，解得1分(第24题(2)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44AB故将抛物线向左平移个单位时AC+CB最短，此时抛物线的函数解析式为1分左右平移抛物线，因为线段AB和CD的长是定值，所以要使四边形ABCD的周长最短，只要使AD+CB最短； 1分第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有AD+CBAD+CB，因此不存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短1分第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A和点B的坐标分别为A(-4-b，8)和B(2-b，2)因为CD=2，因此将点B向左平移2个单位得B(-b，2)，要使AD+CB最短，只要使AD+DB最短 1分点A关于x轴对称点的坐标为A(-4-b，-8)，直线AB的解析式为 1分要使AD+DB最短，点D应在直线AB上，将点D(-4，0)代入直线AB的解析式，解得故将抛物线
