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1、 本学习手册的编写旨在帮助初学者更好地掌握每一章节的重点内容，并提供相应的计算练习实例以及相应练习。第一章 仿射正交张量1.1 指标记号及两个符号一、指标记号1、凡使用指标的记号系统为指标记号，如单位基向量：ei，空间内任一点坐标：xi，今后会遇到的应变张量、应力张量 等。 2、求和约定例：空间内任一点P的向径可表示为： （1）在（1）式中可发现是对指标i从1至3的取值范围内求和。可以将其简写为： （2）这即是求和约定，亦即在数学表达式内同一项中，有某个指标重复出现一次且仅一次（如（2）式中的指标i），就表示对该指标在其取值范围内取一切值，并对所得到的对应项求和。该求和指标也称为哑标。需要说明
2、的是：由于该指标仅表示在其取值范围内求和，因此用其它拉丁字母代替亦可，但是不能与后文提到的自由指标相重复。例1： 该例中，同一项中指标j有重复且只重复一次，所以为哑标。另一指标i不参与求和约定，称其为自由指标。该式展开为： i=1时， i=2时， i=3时，自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数，哑标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数。例1中，由于只有一个自由指标i，所以实际上它代表有个表达式；右端项只有一个哑标j，所以该项展开后是项的和。例2： 例3： 需要说明的是：教材中用拉丁字母书写的指标取值范围是1、2、3，而用希腊字母书写的指标取值范围是1、2（如例3中的指标a）。针对
3、指标记号的练习题：练习1：写出 （个方程，每个方程右端有个累加项）练习2： （个方程，个累加项）二、两个符号1、Kronecker符号 写成阵列的形式即为： Kronecker符号的特点： （1） (2) (3) (4) (5) (6) 例4：向量和，有： 注意：可作为求和约定中“同一项”的分隔符 注意：点乘(包括叉乘符号)符号不能作为“同一项”的分隔符，所以此例中将向量的下标换成了j。 2、排列符号（置换符号）：123 所以，其余21个值为0.还有：例5： 则有：例6：向量和，有： 则 针对两个符号的练习题：练习3：已知，和为常数，试将此式开展：1.2 坐标变换 旧系：，单位基向量：新系：，
4、单位基向量：坐标变换系数： 新旧坐标系下的单位基向量坐标变换规律： 新旧坐标系下的空间点坐标变换规律： 向量，在旧系下的分量，新系下的分量为，其坐标变换规律为： 向量的解析定义：若有3个量，它们在和的分量分别为和，当两个坐标系之间的变换系数为时，与之间按式变换，则这3个量有序整体形成一个向量，此3个量为向量的分量。1.3 张量的定义 一、张量的定义1、0阶张量（标量）：个分量，在旧系下为，新系下，当进行坐标变换时满足。2、一阶张量（向量）：个有序分量，满足3、二阶张量：个有序分量，满足 记，写成阵列形式为：4、n阶张量，同上练习4：试证空间中任意两点间的距离对坐标变换来讲都是个不变量（P8,例
5、1.3-1）。练习5：P27,题1-5练习6: P27,题1-6二、张量的表示方法 并向量表示法（实体表示法）： 1.4 张量的代数运算 1、张量的相等 2、张量相加减 3、张量乘积 r阶张量A,s阶张量B。它们的乘积 C=AB为（r+s）阶 张量乘积的运算性质： （1）服从分配律： （2）服从结合律： （3）不满足交换律：4、张量的缩并 在r（）阶张量，令其任何两个指标相同，并对重复指标施行求和约定。例7： 缩并一次减少2阶5、张量的内积 r（）阶张量A和s（）阶张量B的乘积中，对分别属于A和B的指标进行一次缩并，称如此所得的张量为张量A与B的内积，记为，约定：对张量A的最后一个指标和张量B
6、的第一个指标进行。例8：知，向量。求内积和1.5 商法则设一组数的集合，若它满足对于任意一个q阶张量S(如q=2，任意阶张量分量为)的内积均为一个p阶张量U（如p=3，三阶张量），即在任意坐标系内以下等式均成立： （对l，m应用了求和约定），则这组数的集合必为一个阶张量。1.6 几种特殊张量 对称二阶张量： 反对称二阶张量： 引入 球张量及偏张量： 各向同性张量：张量的每一个分量都是坐标系旋转变换下的不变量。1.7 二阶张量的特征值和特征向量 1.8 张量分析简介标量：； 向量：；1、对时间的导数：2、张量场的梯度：3、张量场的散度：4、张量场的旋度：5、散度定理： 练习7：题1-9第二章 弹
7、性波动力学绪论一、弹性波动力学的任务：应用弹性动力学理论来研究弹性波的激发和传播问题。二、弹性动力学的基本假设：1、物体是连续的；2、物体是线性弹性的；3、物体是均匀的；4、物体是各向同性的；5、物体的位移和应变都是微小的。6、物体无初应力。第三章 运动和变形3.1 弹性体运动和变形的表述一、基本概念：位形、参考位形、变形、运动二、运动和变形的数学表述：同一质点、不同时刻的向径： 或 位移： 例1：例3.1-1练习1：题3-2练习2: 题3-33.2质点的速度和加速度3.3应变张量公式推导：从两点间的距离改变出发来推导：定义 格林应变张量 例2：例3.3-1练习3：题3-43.4小变形情形的应
8、变张量和转动张量一、小变形情形下的应变张量： 二、小变形位移的分解： 令转动张量： （刚体平移+刚体转动+变形位移） 例3：例3.4-1例4：例3.4-2练习4：题3-7练习5：题3-83.5小变形情形下，过一点线元长度的变化及过一点的两个线元之间的变化一、正应变（线应变、相对伸缩） 例5：例3.5-1练习6：题3-6练习7：题3-11二、过一点的两个线元之间夹角的变化 初始两线元夹角余弦 变形后两线元夹角余弦例6：例3.5-2练习8：题3-103.6小变形应变张量的几何解释一、 的几何解释：质点P处原来沿ox1轴方向上的线元每单位长度的长度变化，即点P处沿ox1轴方向的正应变。（、同理）正应
9、变分量二、 的几何解释：变形中点P处原来沿ox1轴和ox2轴方向的两线元之间角度（原为 ）改变量的一半。（、同理）剪应变分量三、的几何解释：变形中点P处每单位体积的体积改变。 该公式的推导3.7主应变，应变不变量若过点P的某个方向的线元，在变形后只沿着它原来的方向产生相对伸缩，则称此线元的方向为该点应变的主方向，称该方向的相对伸缩（正应变）为主应变。 3.8相容性条件 3.9应变球张量及应变偏张量 张量为应变球张量，表明某一点处体元的形状不改变，只是体积发生变化；为应变偏张量，描述体元的形状改变。因其可拆分成5个纯剪切变形的叠加。第四章 应力分析4.1体力及面力 体（积）力： 连续分布作用于弹
10、性体每个体元上的外力（表）面力： 连续分布作用于弹性体表面上的力4.2应力向量用假想截面将弹性体一分为二，两部分通过截面相互有内力作用，可视为面力分布作用于整个截面上。截面上取包含P点的面元，面元的外法向向量为n 应力向量 当x和t固定，而使n取一切可能值时，就得出时刻t过向径为x的点所有各个面元上的应力向量，它们的总体就是该点在该时刻的应力状态；当x改变时，就给出弹性体内各个点的应力状态，即为应力场。一般来讲，应力向量与面元的外法向方向不平行，于是有： 面元上的正应力，剪应力分量 例1：例4.2-14.3应力张量 一、应力向量的分解： 指标涵义，正负的规定二、Cauchy应力公式： 给定一点
11、的应力状态，就完全确定了该点的应力状态。例2：例4.3-1例3：例4.3-2练习1：题4-54.4运动微分方程 边界条件一、运动微分方程：平衡微分方程：练习2：题4-18练习3：题4-19二、应力张量的对称性：三、应力边界条件： 例4：例4.4-2 简便方法：比较边界上的应力与面力方向lhx1ppqx2oBAC 练习4：题4-20练习5：题4-21练习6：题4-224.5 主应力 应力不变量主平面、主方向：若面元上的应力向量t与面元的法向方向n平行，则此面元为该点的主平面，该平面法向方向为该点的主方向。主应力：该主平面上，应力向量的剪应力分量为零，则主平面上的正应力分量既为该点的主应力。4.6
12、 主应力的一些性质4.7 应力球张量及应力偏张量 为应力球张量，为应力偏张量第五章 应力与应变关系5.1 功和应变能 忽略热与温度影响的热力学第一定律： Green公式5.2 各向同性线性弹性体的广义Hooke定律一、广义Hooked定律二、各向同性线性弹性体的广义Hooked定律 练习1：题5-3练习2：题5-4练习3：题5-5练习4：题5-6三、各向同性线性弹性体的应变能密度函数 四、物理常数与、之间的关系式 五、各弹性常数可能的取值范围 六、使用球张量及偏张量表出广义Hooke定律 第六章 线性弹性动力学问题的提出6.1 线弹性动力学的基本方程、边界条件和初始条件基本方程：几何方程、物理方程、运动微分方程定解条件：边界条件+初始条件线性弹性动力学问题的基本求解路线：已知弹性体的自身性质、所受外力、边界条件、初始条件，而求弹性体内的位移场、应变场及应力场。6.2 线弹性动力学问题的提法一、二、Navier方程：例1：例6.7-1练习1：题6-1练习2：题6-2练习3：题6-36.5 二维运动问题 平面运动+反平面运动6.6 能量密度及能通量密度向量
