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1、2011年中考数学压轴题复习讲义动点问题详细分层解析（七）专题七、2011中考数学热点专题突破训练动点问题 动点试题是近几年中考命题的热点，与一次函数、二次函数等知识综合，构成中考试题的压轴题.动点试题大致分为点动、线动、图形动三种类型.动点试题要以静代动的解题思想解题.下面就中考动点试题进行分析.例1如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，A=60，BDAD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD.1当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求APE的面积；2当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿AB的路线运动，且在AB上以每秒1c
2、m的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QNPM，设点Q运动的时间为t秒（0t8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）. （1）求S关于t的函数关系式；（2）求S的最大值.1.分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特殊位置.由题意知，点P为动点，所走的路线为：ABC速度为1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，进而求出APE的面积.略解：由AP=2 ，A=60得AE=1，EP= . 因此.2.分析：两点同时运动，点P在前，点Q在后，速度相等，因此两点距
3、出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后，又到BC边上运动.因此PM、QN截平行四边形ABCD所得图形不同.故分两种情况：（1）当P、Q都在AB上运动时，PM、QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此时0t6.当P在BC上运动，而Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时6t8.略解：当P、Q同时在AB边上运动时，0t6.AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函数PG=(t+2),FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S =(QF+PG)FG=t+(t+2)1=t+.当6t8时，S=S平行四
4、边形ABCD-SAQF-SGCP.易求S平行四边形ABCD=16,SAQF=AFQF=t2.而SCGP=PCPG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得PG=(10-t).SCGP=PCPG=(10-t)(10-t)=(10-t)2.S=16-t2-(10-t)2=(6t8分析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0t6和6t8时的最大值. 0t6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当 6t8时,是二次函数,应用配方法或
5、公式法求最值.略解：由于所以t=6时，S最大；由于S(6t8,所以t=8时，S最大=6.综上所述, 当t=8时，S最大=6.例2如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，AOC=60，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).1.求A、B两点的坐标；2.设OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0t6)，试求S与t的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？ 1.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标.解：四边形OABC为菱
6、形，点C的坐标为(4,0)，OA=AB=BC=CO=4.如图，过点A作ADOC于D.AOC=60，OD=2，AD=.A(2, )，B（6, ）.2.分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之一.直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：0t2时，直线l与OA、OC两边相交(如图). 2t4时，直线l与AB、OC两边相交(如图).4t6时，直线l与AB、BC两边相交(如图).略解：MNOC，ON=t. MN=ONtan60=.S=ONMN=t2.S
7、=ONMN=t2=t. 方法一：设直线l与x轴交于点H.MN2-(t-4)=6-t,S=MNOH=(6-t)t=-t2+3t.方法二：设直线l与x轴交于点H.S=SOMH-SONH，S=t2-t(t-4)=- t2+3t.方法三：设直线l与x轴交于点H.S=,=42=8,=2(t-2)= t-2,=4(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t2,S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t.3.求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值.略解：由2知，当0t2时，=22=2；当2t4时，=4； 当4t6时，配方得S=-
8、(t-3)2+，当t=3时，函数S-t2+3t的最大值是.但t=3不在4t6内，在4t6内，函数S-t2+3t的最大值不是.而当t3时，函数S-t2+3t随t的增大而减小，当4t6时，S4. 综上所述，当t=4秒时，=4. 练习1 如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB3，AD5若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿ABCD的路线作匀速运动当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动求P点从A点运动到D点所需的时间；设P点运动时间为t（秒）.当t5时，求出点P的坐标；若OAP的面积为s，试求出s与t之间的
9、函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）解:（1）P点从A点运动到D点所需的时间（3+5+3）111（秒）.（2）当t5时，P点从A点运动到BC上，此时OA=10,AB+BP=5，BP=2. 过点P作PEAD于点E，则PE=AB=3,AE=BP=2.OE=OA+AE=10+2=12.点P的坐标为（12，3）分三种情况：当0t3时，点P在AB上运动，此时OA=2t,AP=t，s=2tt= t2.当3t8时，点P在BC上运动，此时OA=2t，s=2t3=3 t.当8t11时，点P在CD上运动，此时OA=2t,AB+BC+CP= t，DP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- t
10、.s=2t(11- t)=- t2+11 t.综上所述，s与t之间的函数关系式是：当0t3时，s= t2；当3t8时，s=3 t；当8t11时，s=- t2+11 t . 练习2如图，边长为4的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DEOD，交边AB于点E，连接OE （1）当CD=1时，求点E的坐标；（2）如果设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由解：(1) 正方形OABC中，因为EDOD，即ODE =90，所以COD
11、=90-CDO，而 EDB =90-CDO，所以COD =EDB.又因为OCD=DBE=90，所以CDOBED.所以，即，BE=，则.因此点E的坐标为（4，）(2) 存在S的最大值 由于CDOBED，所以，即，BE=tt2.4(4tt2)故当t=2时，S有最大值10 1、（09包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？AQCDBP（2）若点Q以
12、中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？解：（1）秒，厘米，厘米，点为的中点，厘米又厘米，厘米，又，（4分）， ，又，则，点，点运动的时间秒，厘米/秒（7分）（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒点共运动了厘米，点、点在边上相遇，经过秒点与点第一次在边上相遇（12分）2、（09齐齐哈尔）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线运动（1）直接写出两点的坐标；xAOQPBy（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系
13、式；（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标解（1）A（8，0）B（0，6）1分（2）点由到的时间是（秒）点的速度是（单位/秒）1分当在线段上运动（或0）时，1分当在线段上运动（或）时，,如图，作于点，由，得，1分1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分）（3）1分3分3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？解：（1）P与x轴相切. 直线y=2x8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，8），OA=4，OB=8.由题意，OP=k，PB=PA=8+k.在RtAOP中，k2+42=(8+k)2，k=3，OP等于P的半径，P与x轴相切.（2）设P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PECD于E.PCD为正三角形，DE=CD=，PD=3， PE=.AOB=PEB=90， ABO=PBE，AOBPEB，.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,8)，k=8，当k=8或k=8时，以P与直线
