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1、圆锥曲线专题求离心率的值师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出a、c的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到a c椭圆中e ca双曲线中eca.所以只的值，也可以通过整体法求离心率: 要求出b值即可求离心率.a例1. 2021年全国卷2己知斜率为1的直线丨与双曲线C :2 x2ab21 a 0, b 0相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)，求曲线C的离心率.解析：如图，设B(x1, y1) D(x2, y2)，那么22X22 ab2(X1-整理得X2)(X1X2)(% y2)(%y
2、2)0b2又因为M(1,3)为BD的中点，那么X1 X2 2y y 6，且捲X2，代入得KbD LA三1，解得匕3，所以e 、1 b2 1 3 2. x1 x2 3aa a方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与-的关系，解得b的值，从而整体代入求出离aa心率e.当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得x-ix2(a,b),(a,b) 2或者 yi 目2(a,b)，(a,b)b26从而解出 笃的值，最后求得离心率.a【同类题型强化训练】1.呼市二中模拟中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为2x 3y 0,那么双曲线的离心率为B32.:衡水中学模拟中心在原点，焦点在X轴上
3、的一椭圆与圆(X2)2 (y 1)2 r2交于 A、B123.母题双曲线C： m两点，ab恰是该圆的直径，且直线AB的斜率k2，求椭圆的离心率-y a1(m 0)，双曲线上一动点P到两条渐近线的距离乘积为，求曲线C的离心率.【强化训练答案】1.答案:由双曲线焦点在X上，那么渐近线方程bx ay 0，又题设条件中的渐近线方程为-，那么e31 4932x 3y2.答案:2设椭圆方程为笃a2 y b21(ab 0)，AgyJ, B% y2)，那么2X1ayi2b22 X2 2 a-整理得a(% y2)(yiX2)(X1X2)b2因为AB恰是该圆的直径，故 AB的中点为圆心(2,1)，且X1 X2那么
4、为x2 4, y1牡2，代入式整理得k* y2为 x22b2a直线AB的斜率k2b2a-，解得身2a2所以离心率e caa3.答案：曲线C的渐近线方程分别为li：xmy 0 和 L：xmy0,设 P(xo,yo)，那么点P(xo, y)到直线li的距离diXo Jmy.1 m点P(xo, yo)到直线I2的距离d2Xo Jmy.1 m di d2xo、myoXo因为P(xo, yo)在曲线C上，所以Xo2myo m，故 d1 d2-1 m 2，解得m 1所以e .2.策略二：构造a,c的关系式求离心率根据题设条件，借助a,b,c之间的关系，沟通a、c的关系特别是齐次式，进而得到关 于e的一元方
5、程，从而解方程得出离心率 e.2 2例2. F1,F2是双曲线 笃 每1(a 0,b 0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，假 a b设边MR的中点P在双曲线上，求双曲线的离心率解析：如图1，MF1的中点为P，那么点P的横坐标为 -.2由PF112焦半径公式PF1有cc(c)a2即2 c2a22ac有 e2 2e 2 0解得e 1. 3 ,c ,exp aa ,0 e 1. 3舍去方法点拨：此题根据条件构造关于a,c的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义 e -整理成 a关于e的一元方程，从而解出离心率的值注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的 结果：e椭圆(0,1), e
6、双曲线(1,).【同类题型强化训练】1. :2021新课标直线I过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，I与C交于A、B两点，I AB |为C的实轴长的2倍，那么C的离心率为A. .2C. 2D.322.2021浙江假设双曲线 笃a3： 2,那么双曲2与1的两个焦点到一条准线的距离之比为b线的离心率是A.3B.5C. .3D.5【同类题型强化训练答案】2 22c 2a1.答案：依据题意AB2a，解得 e . 2 .223a，所以 e 3 .a2. 答案：依据题意(c )：(c ) 3:2，整理得c2 cc策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率第二定义由圆锥曲线的第二定义，知离心率 e是动点到
7、焦点的距离和动点到准线的距离之比，适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即MF e.d2 2例3. 2021年辽宁卷设椭圆C:笃 爲1(a b 0)的左焦点为F ，过点F的直线与椭圆C a b相交于代B两点，直线I的倾斜角为60 , AF 2FB ,求椭圆C的离心率.解法一：作椭圆的左准线AB ,过A作AB的垂线，垂足为A ；过B作BB的垂线，垂足为B .AFAAAAAFAA :BBAFBFBFBBAA且BM AA ,所以M是AA的中点BB2BB又因为直线I的倾斜角为60，即BAM所以在Rt BAM中，AB 2 AM解法二：设A(x1,y1), B(x2,y2)，由题意知BFAFx 60 ，AF
8、2AB2e“ AA3AB30y2 0.AA ,故y联立X2ab2)y2 2.3b2cy 3b4 0.3(x c),v2 得(3a1b2解得y13b2(c 2a)3a2b2，V23b2(c 2a)3a2 b2因为AF2FB ,所以yi2 y2 .即.;3b2(c 2a),3b2(c 2a)3a2 b223a2 b2得离心率e -a23 .方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义 要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。对于方法一：需要清晰的思路，敏捷的思维，对 计算要求不高；对于方法二：对学生的计算能力有较高的要求，重在计算。【同类题型强化训练】1.2021
9、全国卷二b21(a b0)的离心率为，过右焦点2F且斜率为k(k0)的直线与C相交于A B两点假设 AF 3FB，那么k A. 1B. . 2C. 3D.22. F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF 2FD，那么C的离心率为.【强化训练答案】1. 答案：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过A、B分别作AA , BB垂直于I，A、B为垂足，过B作BE垂直于AA与M，如图3所示,由椭圆第二定义，那么AAIAFI,|bb凹，由AF 3FB ,得AA e3|BF|e所以cos BAEAE 2BF 1 二AB 4eBF 2e 3tan BAEcos2 BAE 1
10、2，所以 k 2 应选 B.2.答案：方法一：如图 4, | BF | b2 c2 a,作DDiy轴于点D，那么由BF 2FD，得晶i|BF|BD|即Xd3c，由椭圆的第二定义得|FD|畔3C)3c22a3c2又由 |BF | 2| FD |,得 c 2a ,整理得 3c2 2a2 ac 0. a2 两边都除以a2,得3e2 e 2 0,解得e1（舍去），或e 2.3xc0 2x2X21 233G Ycb 2Y21 23yc b 3 0bY2Y222，带入9 c21 b2322 1 ，e4 a4b3方法二：设椭圆方程为：第一标准形式,F分线段BD所成的比为2,课时2、离心率的取值范围一、师生互
11、动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的取值范围问题分类精析与方法归纳点拨。策略一：利用曲线中变量的范围求离心率的范围用曲线中变量的范围，在椭圆0) 中,a x a ；在双曲线中2 x2 a0, b 0)中，x a 或 x a.2例1.设椭圆笃a2詁1 a b 0)的左、右焦点分别为如果椭圆上存在点P，使Fi PF 290，求离心率e的取值范围.解析：设 P(x, y)，又知 Fi(c,0)， F 2 (c ,0)，那么FiP (x c, y)，F2P(x c, y)因为F1PF290，那么F1PF2P，即F1PF2P(x c)(x c)y 2x y联立方程a2 b222x y0所以x2
12、 y2 c22 22. 22 a c a b2 Z2- a b1，消y，解得x2 c又因为F1PF290，故 0 x2 a2，2 22 2a c a b2Z2- a b解不等式，结合椭圆的离心率范围为(0,1)，可得 e方法点拨：由题知a x a，根据限制条件用a,b,c表示x，即x (a,b, c)，然后代入不等 式a (a,b,c) a，结合a2 b2 c2整理得关于a,c的齐次不等式，从而求出离心率的取值 范围.当然此题解决的方法绝不止这一种，根据几何关系或根本不等式等都能很好的解决【同类题型强化训练】2 21. :2007湖南设F1, F2分别是椭圆 卑 % 1 a b 0丨的左、右焦点，假设在其右准a b线上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2，那么椭圆离心率的取值范围是A0#B.D.33，2 22. （2021福建）双曲线笃爲1 （a 0,b 0）的两个焦点为 a bFi、F2,假设P为其上一点，且PF1 2PF2 ,那么双曲线离心率的取值范围为A. (1,3)B. 1,3C.(3,+)D. 3,2 23. :2021四川椭圆 笃每1（a b ）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A,在椭圆a b上存在点P满足线段
