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1、数学分析课程教学大纲课内学时数：276学时其中讲授课：212学时习 题 课： 64学时适用的专业范围及层次：全日制专科数学教育专业学分：16学分考核方式：考试说 明一、教学目的和要求数学分析是高等师范院校数学专业的一门基础课，是进一步学习复变函数论、微分方程、概率与数理统计、微分几何等后继课程的阶梯，也为深入理解中学数学打下必要的基础。本课程要求学生掌握以下几个方面内容：（一） 掌握函数、极限和连续等基本概念（二） 掌握导数与微分（三） 掌握中值定理与导数的应用（四） 掌握不定积分（五） 掌握定积分（六） 掌握级数理论（七） 掌握多元函数的微分法（八） 掌握二重积分（九） 掌握曲线积分与曲面积
2、分在教学过程中应注意逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间抽象能力以及自学能力，特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题以及创新能力. 正确理解数学分析的基本概念，基本上掌握数学分析中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的能力，培养学生辩证唯物主义观点。二、课程内容和学时分配课程内容和学时分配表章 次内 容总学时数课程讲授学时数习题时数一函数1082二极限20164三连续函数862四实数的连续性220五导数与微分16124六微分中值定理及其应用22166七不定积分1064八定积分30246九级数503812十多元函数微分学32248十一隐函数
3、12102十二反常积分与含参变量的积分1082十三重积分24186十四曲线积分与曲面积分30246三、教学建议实施本大纲时，请注意以下几点：1、在不影响基本要求的情况下，本大纲所列各单元讲授时数和顺序安排，可作适当调整。2、作为中学数学教师，应对“实数理论”有一定理解。本大纲把“实数理论”作为附录放在最后，建议结合实数基本定理的证明作适当介绍。3、本大纲列入部分带*号（或在附注中说明）的内容，供选用。4、本学科分三个学期讲授，第一学期96、第二学期108、第三学期72。四、理论教学部分第一章 函数教学目的与要求本章的教学目的：（1）使学生掌握实数的基本性质和确界原理，建立起实数集确界的清晰概念
4、。（2）使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见述语。本章的教学要求是：（1）加强对函数概念的理解，要求理解符号f与 f(x)的意义，掌握函数的几种表示法，特别是分段函数的表示法，会判别一个对应法则是否是一个函数。（2）掌握两个函数的相等、两个函数能构成复合函数的条件以及反函数存在的条件。会求两个函数（初等函数与非初等函数）的复合函数。（3）能用定义证明函数的单调性、奇偶性、有界性及周期性。（4）初步学会对简单命题的否定式的正确叙述。教学内容：1.1 函数一 函数的概念二 函数的四则运算法则三 函数的图像四 数列1.2四类具有特殊性质的函数一 有界函数二 单调函数三 奇函数与偶函
5、数四 周期函数1.3复合函数与反函数一 复合函数二 反函数三 初等函数1.4确界定理一 上界与下界二 上确界与下确界 第二章 极限教学目的与要求本章的教学目的：（1）使学生建立起数列极限的准确概念，熟悉收敛数列的性质。 （2）使学生正确理解数列收敛的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有命题。（3）使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；（4）理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；（5）掌握两个重要极限 和,并能熟练运用；（6）理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。本章的教学要求是：（1）正确理解数列极
6、限的e-N定义（包括正反两个方面）及几何意义；（2）掌握用e-N定义证明a是的极限的基本方法；（3）掌握极限的性质，并能运用夹逼性、四则运算、单调有界定理、 及恒等变换求某些收敛数列的极限；（4）能判别数列极限存在或不存在；（5）初步掌握一些基本综合题，逐步培养综合应用能力。（6）深刻理解函数极限的定义（主要是e-d,e-C,M-d三种），明了其几何意义，并能给出函数极限的否定陈述；（7）掌握函数的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性质；（8）掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路（9）掌握两个重要极限，牢记结论=1和=e, 掌握证明的基本思路和方法，并能灵活加
7、以运用；（10）掌握无穷小（大）量及阶的概念，并能运用它求一些函数的极限。教学内容：2.1数列极限一 极限思想二 数列的极限三 数列极限概念四 例2.2收敛数列 一 收敛数列的性质 二 收敛数列的四则运算 三 数列的收敛判别法 四 子数列2.3函数极限 一 当时,函数的极限 二 例() 三 当时,函数的极限四 例()2.4函数极限的定理 一 函数极限的性质 二 函数极限与数列极限的关系 三 函数极限存在判别法2.5无穷小与无穷大一 无穷小二 无穷大三 无穷小的比较第三章 连续函数教学目的与教学要求本章的教学目的是：（1）使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念；（2）熟悉连续函数的性质并
8、能灵活运用：（3）知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数,并能够加以证明。本章的教学要求是：（1）加深对连续函数概念的理解，掌握证明函数连续的方法，从而进一步熟练的证明方法；（2）掌握求函数的不连续点及判别是那一类间断点的方法，从而进一步掌握求函数的左、右极限，判别函数极限不存在的方法；（3）理解并牢记连续函数局部性质和整体性质的结论；（4）学会连续函数性质的证明方法,并能运用连续函数局部性质和整体性质的结论证明书中一般性定理；（5） 理解和掌握函数在区间I上一致连续的概念,连续与一致连续的本质区别。会用定义证明给定函数在某一区间上一致连续和不一致连续。教学内容：3.1连续函数一 连
9、续函数概念二 例三 间断点及其分类3.2连续函数的性质一 连续函数的局部性质二 闭区间上连续函数的整体性质三 反函数的连续性四 初等函数的连续性*第四章 实数的连续性教学目的与教学要求本章的教学目的是：（1）使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；（2）明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的方法，显著提高学生的分析论证能力。本章的教学要求是：（1）进一步加深对实数集上，下集界，数列的子列以及函数在一区间上一致连续等重要概念的理解，为掌握本章有关内容作好准备；（2）掌握区间套，聚
10、点，开覆盖等重要概念；（3）熟练掌握六个基本定理，明确定理的条件与结论，准确地加以表述，并深刻理解其实质意义：（4）理解基本定理的相互等价性，并掌握本课程依次推证的基本思路和方法；（5）掌握应用基本定理证明闭区间上连续函数的最大，最小值，介值性以及一致连续性三个定理的基本胜利思路和方法，并在各种具体问题中正确地加以利用；（6）了解数列上极限与下极限的概念及其与数列极限的关系。教学内容：4.1实数连续性定理一 区间套定理二 确界定理三 有限覆盖定理四 聚点定理五 致密性定理六 柯西收敛准则4.2闭区间上连续函数整体性质的证明 一 性质的证明二 一致连续性第五章 导数与微分教学目的与教学要求本章的
11、教学目的是：（1）使学生准确掌握导数与微分的概念，明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分。（2）弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互连系。熟悉导数与微分的运算性质和微分法则。牢记基本初等函数的导数公式与微分公式，并熟练地进行初等函数的微分运算。（3）能利用导数与微分的意义解决某些实际应用的计算问题。本章的教学要求是：（1）握导数和微分的定义（包括单侧导数）和依定义求导数的方法，会求一阶微分，理解导数与微分的几何意义。（2）掌握函数在一点连续，可导与可微的关系。（3）掌握求导法则和基本求导公式，能比较熟练地求复合函数的导数，掌握参数方程求导的方法。（4）掌握高阶导数的概念
12、与计算方法，对参数方程和抽象函数，会求到二阶导数。教学内容：5.1导数一 实例二 导数概念三 例5.2求导法则与导数公式一 导数的四则运算二 反函数的求导法则三 复合函数的求导法则四 初等函数的导数5.3隐函数与参数方程求导法则一 隐函数求导法则二 参数方程求导法则5.4微分一 微分概念二 微分的运算法则和公式三 微分在近似计算上的应用5.5高阶导数与高阶微分一 高阶导数二 莱布尼茨公式三 高阶微分第六章 微分学基本定理及其应用教学目的与教学要求本章的教学目的是：（1）掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的基础；（2）熟练掌握罗比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；（3）
13、掌握泰勒公式，并能应用它求一些有关的问题。（4）使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；（5）会求函数的最大，最小值，了解牛顿切线法。本章的教学要求是：（1）深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个中值定理的证明方法，知道三者之间的包含关系；（2）具有应用中值定理进行分析论证的能力。能用以证明某些有关的命题，特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的方法；（3）了解导函数的极限定理与导函数的介值性定理；（4）熟练掌握罗比塔法则，并能正确应用它迅速准确地求某些不定式的极限；（5）深刻理解泰勒定理，掌握泰勒公式，熟悉两种不同余项的
14、泰勒公式及其之间的差异；（6）掌握并熟记一些常用初等函数的泰勒展开式，并能够加以运用；（7）了解带拉格朗日型余项的泰勒公式进行近似计算并估计误差，会用带皮亚诺型余项的泰勒公式求某些函数的极限。（8）深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导函数判定函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式；（9）弄清函数极值的概念，取得极值的必要条件以及第一，第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法与步骤；能灵活运用第一，第二充分条件判定函数的极值点与极值；会利用极值确定函数的最大，最小值。对于取得极值的第三充分条件，也应有基本的了解；（10）弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的几个等价论断。会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题；（11）掌握求曲线各种类型渐近线的方法；（12）掌握描绘函数图象的一般方法和步骤，能够把握曲线的各种重要特征。熟练，正确的描绘出函数的图象；（13）了解求方程近似解的牛顿切线法，并估计误差。教学内容
