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1、直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】图3-2-11. 如图3-2-1,直线I/m,在直线I上取两点A、B，在直线m上取两点C、D，向量错误！与错误!有怎样的关系？【提示】Ab/错误！.2. 如图直线I丄平面a直线I/m,在直线m上取向量n,则向量n与平面a有怎样的关系？【提示】n丄a。直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量,一条直线的方向向量有无数个.直线I丄a取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.叭2空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线1,m的方向向量分别为a=(ai,bi,ci),b=(a2,b2,c2),则1/m?a/b?(aibq)=k(a2,b
2、2,c2)线面平行设1的方向向量为a(ai,bi,ci),a的法向量为u=(a2,b2,C2),则I/a?au=0?aia2+bib2+cic20面面平行设a,B的法向量分别为u(ai,bi,ci),v(a2,b2,C2),则all价u/v?(aj,bi,ci)=k(a2,b2,c2)求平面的法向量矣里1/Vc1)图3-2-2FffO已知ABCD是直角梯形，/ABC=90SA丄平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD1=2,试建立适当的坐标系.(1) 求平面ABCD与平面SAB的一个法向量.(2) 求平面SCD的一个法向量.【自主解答】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、
3、z轴，建立1如图所示的坐标系，则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),S(0,0,1).(1) vSA丄平面ABCD,.-AS=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.AD丄AB,AD丄SA,.AD丄平面SAB,错误！=(错误！，0,0)是平面SAB的一个法向量.(2) 在平面SCD中，错误！=(错误！，1,0),错误！=(1,1,-1).设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),则n丄错误！，n丄错误！。所以错误！得方程组错误！错误！令y=1得x=2,z=1,.n=(2,-1,1).1.若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量
4、.2般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1) 设出平面的法向量为n=(x,y,z)(2) 找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(ai,bi,ci),b=(a2,b2,C2).(3) 根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组错误！(4) 解方程组，取其中的一个解，即得法向量.在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组错误!有无数多个解，只需给x,y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.g311g正方体ABCDAiBiCiDi中,E、F分别为棱AiDi、A1B1的中点，在如图32-3所示的空间直角坐标系中，求
5、：(1) 平面BDDiBi的一个法向量.(2) 平面BDEF的一个法向量.【解】设正方体ABCDAiBiCiDi的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(i,0,2)(i)连AC,因为AC丄平面BDDiBi,所以错误！=(2,2,0)为平面BDDiBi的一个法向量.(2)错误!=(2,2,0),错误!=(1,0,2).设平面BDEF的一个法向量为n=(x,y,z).错误！错误！错误！令x=2得y=2,z=1。n=(2,2,1)即为平面BDEF的一个法向量。=2EB1,BF=2FA1。长万体ABCDAiBiCiDi中，E、F分别是面对角线B1D1,
6、AiB上的点，且DiE求证：EF/AC1。【自主解答】如图所示，分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA=a,DC=b,DD1=c,则得下列各点的坐标：A(a,0,0),C1(0,b,c),E(错误！a,错误！b,c),F(a,错误！，错误!c).错误！=(错误！，错误！，错误！),错误！=(a,b,c),FE,=错误！错误！。又FE与AC1不共线，直线EF/AC1。I规律方法I利用向量法证明线线平行的方法与步骤:图3-2-4如图324所示，在正方体ABCDAiBiCiDi中,E、F分别为DDi和BBi的中点.求证：四边形AECiF是平行四边形.【证明】以
7、点D为坐标原点，分别以错误！，错误！，错误！为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1,则A（1,0,0）,E（0,0,错误！），Ci（0,1,1）,F（1,1,错误!）,.错误！=（1,0,错误！），错误！=（1,0,错误!）,错误！=（0,1,错误！），错误！=（0,1,错误！），.错误！=错误！，错误！=错误错误！/错误！，错误！/错误！，又VF?AE,F?EC1,.AE/FC1,EC1/AF,四边形AEC1F是平行四边形。图325利用空间向量证明线面平行呦如图325,在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，求证：ABi/平面DBC1。【自主解答】以A为坐标原点建立空间
8、直角坐标系.设正三棱柱的底面边长为a（a0），侧棱长为b（b0）,则A（0,0,0）,B（错误!a,错误！，0）,Bi（错误!a，错误!,b）,Ci（0,a,b）,D（0，错误!,0）错误！=（错误!a,错误！，b）,错误！=（错误!a,0,0）,错误！=（0,错误！,b）.设平面DBCi的一个法向量为n=（x,y,z）,则错误！错误！不妨令y=2b,则n=（0,2b,a）.由于错误！n=abab=0,因此错误！丄n.又ABi?平面DBCi,.ABi/平面DBCi.II规律方法I利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一
9、组基底表示.方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直.在长方体ABCDAiBiCiDi中，AAi=2AB=2BC,E,F,Ei分别是棱AAi,BBi,A1B1的中点.求证：CE/平面C1E1F。【证明】以D为原点，以DA,DC,DDi所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图.叹H设BC=1,则C(0,1,0),E(1,0,1),Ci(0,1,2),F(1,1,1),Ei(1，错误!,2).设平面C1E1F的法向量为n=(x,y,z),错误!=(1,错误!
10、,0)，错误!=(1,0,1),错误!即错误！取n=(1,2,1).错误！=(1,1,1),n错误！=12+1=0,错误！丄n,且错误!?平面C1E1F。CE/平面GEFo向量法证明空间平行关系图3-2-6典锲（12分）如图3-2-6，在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形，EFIIAB,EF丄FB,AB=2EF,/BFC=90BF=FC,H为BC的中点.求证：FH/平面EDB。【思路点拨】先通过推理证明FH丄平面ABCD，建立空间直角坐标系，再设证明错误!、错误！、错误!共面.【规范解答】四边形ABCD是正方形,AB丄BC,又EF/AB,EF丄BC。又EF丄FB,EF丄平面BFC.E
11、F丄FH,.AB丄FH。2分又BF=FC,H为BC的中点，FH丄BC。FH丄平面ABC.4分以H为坐标原点，错误！为x轴正方向，错误!为z轴正方向.建立如图所示的空间直角坐标系.设BH=1,则B(1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1)。6分错误！=(0,0,1),错误！=(1,-1,1),错误！=(2,-2,0),设错误！=入错误！+1错误！=入(一1,1,1)+(2,2,0)=(入一2jj,2仏(0,0,1)=(-入一2仏一入一2讥)错误！，解得错误！.错误！=错误！错误!错误!10分向量错误！,错误！,错误！共面又HF不在平面EDB内,HF/平面EDB.1
12、2分【思维启迪】1。建立空间直角坐标系,通常需要找出三线两两垂直或至少找到线面垂直的条件2证明时,要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别,注意所运用定理的条件要找全,ccccccccccccccccccc1. 利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面把立体几何问题转化为向量问题；(1) 进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.2证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.%它双丛达标楂堂蛛生生至动逹”
13、貳得”1若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线I上，则直线I的一个方向向量为()A(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)【解析】错误！=(2,4,6)=2(1,2,3).【答案】A2. 下列各组向量中不平行的是()Aa=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)Dg=(-2,3,5),h=(16,24,40)【解析】门=(-2,-4,4)=-2(1,2,-2)=-2a,/-ab，同理：c/d,e/f。【答案】D3. 设平面a内两向量a=(1,2,1),b=(1,1,2),则下
14、列向量中是平面a的法向量的是()A.(-1,-2,5)B.(-1,1,-1)C.(1,1,1)D.(1,-1,-1)【解析】平面a的法向量应当与a、b都垂直，可以检验知B选项适合.【答案】B4根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：(1) 直线丨1,12的方向向量分别是a=(1,-3,-1),b=(8,2,2);(2) 平面aB的法向量分别是u=(1,3,0),v=(-3,-9,0);(3) 直线l的方向向量，平面a的法向量分别是a=(1,-4,-3),u=(2,0,3).【解】(1)vab=1X8+(3)x2+(1)x2=0,/l1丄b.(2) vv=(-3,-9,0)=-3(1,3,0)=-3卩，/.a/B。(3) ：a、u不共线,/不与a平行也不在a内.又Tau=-7工0,/l与a不垂直.故I与a斜交。靜広倉能检测剛心卄*用肾一、选择题1. (2013吉林高二检测)l1的方向向量为v1=(1,2,3),l2的方向向量v2=(入4,6)若l1/12,贝V匕()A.1B.2C.3D.4【解析】Tl1/|2,.V1/V2，则错误！=错误！，/入=2。【答案】（2013青岛高二检测）若错误！=错误！+错误！，则直线AB与
