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1、第6讲 空间向量及其运算一、选择题1以下四个命题中正确的是 ()A空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B若a，b，c为空间向量的一组基底，则ab，bc，ca构成空间向量的另一组基底CABC为直角三角形的充要条件是0D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若ab、bc、ca为共面向量，则ab(bc)(ca)，(1)a(1)b()c，不可能同时为1，设1，则abc，则a、b、c为共面向量，此与a，b，c为空间向量基底矛盾答案B2若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则x ()A4 B2 C4 D2解析a(1,1，x)，b(1,2,1
2、)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)(2b)2(1x)2，x2.答案D3若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b解析若c、ab、ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a、b、c为共面向量，此与a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底答案C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为 ()A0 B. C. D.解析设a，b，c，由已知条件a，ba，c，且|b|c|，a(cb)a
3、cab|a|c|a|b|0，cos，0.答案A5如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ()Aabc B.abcCabc D.abc解析()c(ba)abc.答案A6如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C1D.解析 ，|2|2|2|22221113，故|.答案D二、填空题7. 设R，向量，且，则解析 .答案 8. 在空间四边形ABCD中，_.解析如图，设a，b，c，a(cb)b(ac)c(ba)0.答案09已知ABCDA1B1C1D1为正
4、方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确命题的序号是_解析 由，得()23()2，故正确；中，由于AB1A1C，故正确；中A1B与AD1两异面直线所成角为60，但与的夹角为120，故不正确；中|0.故也不正确答案 10如图，空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值等于_解析设a，b，c.OA与BC所成的角为，a(cb)acaba(a)a(a)a2aa2a2416.cos .答案三、解答题11已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足()(1)判断、三个
5、向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解(1)由已知3 ，()()，即，共面(2)由(1)知，共面且基线过同一点M，四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内12把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后EOF的大小解 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则A（0，a,0），B（a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，a，a），F（a，a,0）.(1)|2222a2，|EF|a.(2)，0aa0，|，|，cos，EOF120.13如图，已知M、N分别为四面体
6、ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA13.求证：B、G、N三点共线证明设a，b，c，则a(abc)abc，()abc.，即B、G、N三点共线14如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)；(2)；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值解设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，bc，(a)a2ac，(2)(ca)(bc) (bcabc2ac)；(3)abacb abc，|2a2b2c2abbcca，则|.(4)bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是(0，90，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
