提升数学能力 培养数学思维 2011年高中数学奥赛资料系列第九讲 不等式知识梳理1．不等式的概念与性质（要注意不等式性质成立的条件）2．基本不等式（1）利用基本不等式证明不等式 （2）运用基本不等式求值 ①“和定积最大”：；②“积定和最小”：. 运用重要不等式最值要注意满足三个条件：“正、定、等”.即、都是正数，和或积是定值，与能相等.补充：均值不等式 设是个正实数，记；，；他们分别称为个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数，这四个平均数具有如下关系：，上式等号成立的条件是.3.不等式的证明 综合法、分析法、换元法、三角换元法、构造（方程、函数）法、放缩法、反证法4．不等式的解法① 一元一次不等式、一元二次不等式相信同学们都应该能熟练求解了.② 对于分式不等式、对数不等式、指数不等式，我们需进行同解变形为熟悉的不等式后再利用已学过的知识解答.③ 对于含参不等式的求解则需进行必要的讨论.④ 一元高次不等式用根轴法.⑤ 解不等式的方法中，尤其需要注意的是换元法、图象法、根轴法，5.不等式的综合应用 （1）应用基本不等式求最值（和一定，积最大；积一定，和最小）. （2）“有解”与“恒成立”问题. （3）应用不等式求值范围，在与解析几何的综合考查中较常见.例题选讲例1.若，则下列关系成立的是A. B. C. D.例2．若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是____.例3．在算式4×□＋9×△＝♡的□和△中分别填入两个正整数，使它们的倒数之和的最小值为，则正整数♡的值为_________.例4：解关于的不等式例5：（1）已知，求证：（2）已知，求证：（3）设，，且，求证：（4）已知△ABC的三边长是，且为正数，求证：例6：证明：（1） （2）（3）例7：已知两个函数其中是实数。
1）对任意，都有成立，求的取值范围（2）存在，使成立，求的取值范围（3）对于任意的，都有成立，求的取值范围练习巩固1.已知正数满足，则的最大值为A.9 B. C.16 D.2.对恒成立，则的取值范围是____________3．Mn(n=3,4,5,……)为正整数，若a＞b＞c且对满足条件的任意a,b,c都有+≥0时，M3的最大值为 ，若a1＞a2＞a3……＞an(n=3,4,5,……)，且对满足条件的任意an都有+……+≥0，则Mn的最大值为 4. 解下列不等式（1）≤0； （2）解关于的不等式5.已知＞0，解关于6．（1）已知a,b,c是不全相等的正数，求证：＜（2）已知，，，求证：，（3）若>0，求证：（4）已知，，，且，求证：7.求证：（1）（2） 2。