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1、几何体的一种构造单纯体 (金飞 天津 南开大学 300071) 我们学习了几何学，对几何体有了一定的了解，当我们知道三维空间中只有五种正多面体时，不禁被它的神秘所吸引。你是否有一种想进一步了解它的冲动呢？我们下面要研究的是一种特殊的几何体单纯体。单纯体即每个面均为相同多边形的多面体（可以是凹多面体也可是凸多面体）。我们将会证明，只有三角形、四边形和五边形才可能构成单纯体，并着重讨论四边形构成单纯体的情况，包括完成菱形多面体的分类和讨论一般四边形构成单纯体的情况。对于筝形构成单纯凸多面体的分类，我们也已研究清楚，另文发表。菱形多面体为说明如何用菱形构造单纯体，我们先来了解它的一个特例正6面体（即
2、正方体，它的每个面均是正方形，而正方形是一种特殊的菱形）。如下图，容易知道连接正6面体的一组“面对角线”得到一个正4面体，因此正6面体可以这样构造出：在正4面体的每一条棱上均添加一个相同的正方形，使得正方形的对角线与正4面体的棱重合。类似地，在正6面体或正8面体的棱上添加适当的菱形可得到菱形12面体，如下图所示：同样地，在正12面体或正20面体的棱上添加适当的菱形可得菱形30面体，如下图所示：将所得多面体列表如下：正多面体棱上添加所得多面体所得多面体的顶点数所得多面体的棱数所得多面体的面数正4面体正方形正6面体8126正6面体菱形菱形12面体142412正8面体菱形菱形12面体142412正1
3、2面体菱形菱形30面体326030正20面体菱形菱形30面体326030由以上归纳，我们给出一类新的多面体的定义菱形多面体。菱形多面体：即每个面均为相同菱形的凸多面体。以上的几种菱形多面体人们早已发现，那么菱形多面体有多少种呢？前人并没有论述。下面，我们讨论了关于菱形多面体的分类，得到如下定理。定理：菱形多面体仅有五种，它们是菱形六面体、菱形十二面体、伴菱形十二面体、菱形二十面体和菱形三十面体。 证明：以下分四种情况讨论(一) 若每个顶点周围仅有三个面 菱形多面体的每个面均为四边形，则有 4F=2E （1）每个顶点周围有三个面，则有 3V=2E （2）欧拉公式 VE+F=2 （3）由（1）、（
4、2）、（3）可得 V=8 、 E=12 、 F=6 对应的多面体为菱形6面体。如下图： （二）若有一顶点，其周围有四个面 则这个顶点周围的四个角的组合有以下几种情况：1. 这个顶点这周围有四个锐角PBCAD EG 图-1HF如图-1，易知，A、B、C、D四点最多再接一个菱形，否则该点周围面角之和将不小于360度。（1） 若A、B、C、D点都接菱形锐角，即EBF=FCG=GDH=HAE均为锐角，由对称性可知A、B、C、D共面,且BCAD，如图-2考察四边形ABCD，AB=BC=CD=AD=AC=BD，易知，四边形ABCD不存在，所以这种情况不行。CBDA图-2（2） 若B点接锐角，C点接钝角。即
5、EBF为锐角，FCG为钝角，由平行线所夹角的关系可得 GDH=EBF，HAE=FCG。考察如图-3多面体，PA=PB=PC=PD，AB=BC=CD=DA=AC，设菱形的长对角线长为2b，短对角线长为2a，易计算得，=，在此条件下，我们通过作图以及模型制作发现这种菱形拼成一个12面体，而且拼法唯一，我们称之为伴菱形12面体。ABCDP图-3（3） 若A、B、C、D点都接菱形钝角，即EBF=FCG=GDH=HAE均为钝角。易计算得，该菱形的长短对角线长之比为，它拼成菱形12面体。2这个顶点周围有三个锐角和一个钝角，如图-4，APD为钝角。GFEBCHA图-4DP（1） 若A、B、C、D点都接菱形锐
6、角，即EBF=FCG=GDH=HAE均为锐角，由对称性可知A、B、C、D四点共面,且BCAD，考察四边形ABCD，AB=BC=CD，BD=AC=AB，易知，四边形ABCD不存在，所以此种情况不行。（2） 若B、C点都接菱形钝角，即EBF为锐角，FCG为钝角，易知，GDH=EBF，HAE=FCG，BD=FG=AD，EF=AC=AB=BC，考察图-5多面体，AD=BD，AC=BC， 则，ACD=BCD,因此，点D在平面ABC上的投影在ACB的角平分线上，又因该多面体为凸多面体，因此点D在平面ABC上的投影在面PBC的一侧，易知此投影在直线BC的左侧，因此与点D在平面ABC上的投影在ACB的角平分线
7、上矛盾。PDCBA图-5（3） 若A、B、C、D点都接菱形钝角，即EBF=FCG=GDH=HAE均为钝角，设菱形长对角线长为2b，短对角线长为2a，考察梯形ABCD(如图BACD图-6H-6)，AB=BC=CD=2a，AC=BD=AD=2b，易知AH=、HD= ，而|AC|2|AH|2=|CD|2|HD|2 ，即 = ，易知，此种情况该菱形拼成的多面体为伴菱形12面体或菱形20面体。如下图所示：菱形20面体伴菱形12面体 （三）若有一顶点，其周围有五个面 则这顶点周围的四个角的组合有以下几种情况：1、 这个顶点周围有五个锐角JHGFEDCBA阿图-7如图-7，顶点A周围有五个锐角，若B、C、F
8、、J、E均再接锐角，易计算出菱形的长对角线长小于短对角线长，矛盾。因此其中有一点周围应再接一个钝角。不妨设点B周围再接一个钝角。若点C周围再接一个锐角，考虑D点，若D点周围不再接菱形了，即G、H两点重合，易知DG/AE,DH/AF.则AE/AF,矛盾，因此D点周围应再接若干个菱形锐角。若D点周围再接一个锐角，即存在一顶点D，其周围有三个锐角和一个钝角，由情况（一）中情形2的讨论可知，所得多面体应是伴菱形12面体或菱形20面体。易知它们都不满足图-7的结构。对于D点周围再接更多的锐角的情况下面将给出否定回答。因此B、C、F、J、E周围应均再接一个菱形钝角。据此，易计算出菱形的长短对角线长之比为。
9、此菱形拼成的多面体为菱形20面体或菱形30面体。2、 这个顶点周围有四个锐角和一个钝角HGFBAEDC图-8如图-8，A点周围有四个锐角和一个钝角,为了保证A点周围面角之和小于360度，则菱形的锐角应小于60度，钝角应大于120度。故B、C两点只能再接一个锐角。考虑F点周围已不能再接菱形了，即D、E两点重合。易得EF/AG,FD/AH.则AG/AH,矛盾。 （四）若有一顶点，其周围有六个面或多于六个面 只讨论一顶点周围有六个面的情况。其它情况类似讨论。1、这个顶点周围有六个锐角GFEDCBA图-9如图-9，A点周围有四个锐角和一个钝角,为了保证A点周围面角之和小于360度，则菱形的锐角应小于6
10、0度，钝角应大于120度。则B、C、D、E、F、G均只能再接一个菱形锐角。易计算出菱形的长对角线长小于短对角线长，矛盾。2、 这个顶点周围有五个锐角和一个钝角ABCEFDGH图-10如图-10，A点周围有五个锐角和一个钝角,易知B、C点周围只能再接一个菱形锐角，考虑F点，F点周围不能再接菱形，即D、E两点重合，易知DF/AG、EF/AH.则AG/AH,矛盾。综上所述，单纯菱形多面体仅有五种，即菱形6面体、菱形12面体、伴菱形12面体、菱形20面体、 菱形30面体。一般四边形的单纯体引理：简单多面体的三角形面的个数与三面角的个数之和不小于8。证明：设一简单多面体有x个三角形面，y个三面角。i角形
11、面的个数为，连接j条棱的顶点的个数为，其中。 则： （1） （2）（1）+（2）得，命题得证。命题1：四边长各不相等的凸四边形不能构成单纯体。证明：假设这种单纯体存在，我们考虑其任一顶点周围面的排列情况，容易发现每个顶点周围至少有4个面。而该单纯体的每个面均为四边形。因此与引理矛盾。故四边长各不相等的凸四边形不能构成单纯体。命题2：对边长相等，邻边长不等的凸四边形不能构成单纯体。证明：同样，我们考虑其任一顶点周围面的排列情况，容易发现这种单纯体不存在。命题3：不存在由凸n（n6）边形构成的单纯体。证明：设为连接i条棱的顶点个数。显然i3，。每个面包含n条棱，因而有 （1） 欧拉公式 （2） （
12、3）由（1）、（2）得 =2E， 与（3）矛盾。 由命题3的证明过程，我们容易得到下面命题4 命题4：一简单多面体必有三角形、四边形、五边形中一种形状的面。下面给出，有三边相等的梯形构成单纯凸多面体的一个结果，其中只讨论了一种情形，另一种情形类似讨论。 命题5：有三边相等的梯形不能构成单纯的凸多面体证明：假设这种梯形能构成单纯的凸多面体，考虑梯形（如图-11）（AB=BC=ADCD）下面分两种情况讨论ABCD图-11（一） 若该单纯体每个定点周围只有三个面。则有如下等式3V=4F4F=2EVE+F=2 D1C1B1A1DCBAF=6 、 E=12 、 V=8 它是一个六面体如图-12所示图-1
13、2其中AA1 、B1C1、CD为梯形长的底边。BC/ B1C1、C1D1/CD。则平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，而平面ADD1 A1交平面ABCD和平面A1B1C1D1分别于AD、A1D1。则/ A1D1矛盾。因此这种梯形不能构成单纯六面体。（二） 若该单纯体存在一顶点，其周围至少有四个面图-13如图-13，A点满足假设。易分析得，每个顶点周围只能是四个锐角、三个锐角和一个钝角两种情形，要不然B点周围的面角之和将大于360度。看C点周围，BCD为钝角、BCG、GCI都是锐角。由分析结论可知C点周围不能再连接其它面。而DCG是钝角，因而矛盾。由命题3可知，只有三角形、四边形和五边形才能构成单纯体。我们主要讨论了四边形构成单纯体的情况，但并未完全解决四边形单纯体的分类问题。此外对于五边形，我们知道正五边形能构成正十二
