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1、40极限论实数函数极限连续 第2版 第3章 数列的极限第三章 数列的极限牛顿（Isaac Newton,1642-1727年）和莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）于17世纪后期创建了微积分方法，该方法在科学技术的许多领域得到了广泛的应用，取得了令人瞩目的成果。然而，当时这门新兴学科的理论基础很不完善，自身存在逻辑上的矛盾，这就引起了围绕着微积分的争论。从十七世纪末期到十八世纪中期，在西欧各国围绕微积分基础问题开展了一场规模巨大的大辩论。历史上称之为“数学的第二次危机”。当时几乎所有的数学家、自然科学家，哲学家和一些神学家都发表了意见，其中既有学术
2、观点的分歧，也有尖锐的哲学思想的冲突。柯西（Augustin Louis Gauchy，1789-1857年）对微积分学的最主要的功绩是把纷乱的概念理出了一个头绪，将微积分学奠定在极限概念之上。柯西极限概念的叙述是：“若代表某变量的一串数无限地趋向某一个数值，其差可以变为而且保持小于任意给定的量，则该固定值称为这一串数值的极限。”他用变量的语言对极限概念的完美叙述，是牛顿和莱布尼兹在建立微积分之后将近一个半世纪而艰难迈出的重要的一步。柯西荣获“现代分析奠基人”的桂冠。但是还不能以此作为极限的数学定义，还有待于形式化。因为仅有这样叙述的极限概念，连最简单的极限性质也难于给出一个清晰的证明。魏尔斯
3、特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897年）的严谨成为“极仔细的推理”的同义语，被誉为“数学良知的杰出代表”，“现代分析之父”。他还是一位很有影响的教师，为许多未来的数学家树立了典范。他于1864年任柏林大学教授，1873年任柏林大学校长。在柏林大学任教时，他抛开长期以来表述极限的动态观点，包括柯西用变量的语言表述的极限概念，提出完全不同的静态观点，明确而全面地采用“语言”与不等式的方法，实现了极限概念表述的“算术化”，消除了柯西的“无限趋近”、“变为而且保持小于任意给定的量”等说法。1 数列极限的定义高中数学教材曾两次引入又取消数列极限的严
4、格定义。现在的高中数学基本上不讲极限了，参考书11与12只是在介绍导数时由“可以看出”和“无限趋近于”“一个常数”，直接引入“极限”一词和极限的记法。于是，如何引入极限的严格定义，是大学高等数学和数学分析教材中所面临的新的重要课题。全部极限理论的基础是数列极限。理解、掌握数列极限概念，是理解、掌握全部极限概念的钥匙。本节讨论数列极限的概念。1-1 给出4个数列：例1 ，即数列 。例2 ，即数列 。例3 ，即数列 。例4 ，即数列。1-2 用中学数学的“可以看出”指出这4个例子的极限。例1数列各项的数值正负交替，而它们的绝对值是，随着的无限增大的数值越来越小，而且是无限制地减小。“可以看出”它的
5、极限是。例2数列的数值在数1的左右摆动。知道它随着的无限增大而越来越接近1，而且是无限制地接近1。即数值越来越小，而且无限制地减小。结合例1，“可以看出”它的极限是。例3的数列，奇数项数值恒为2，偶数项的数值一次比一次更接近2，即，。但总的来说，有不等式 ，。所以，根据前面的例子，“可以看出”这个数列的极限是。例4数列的数值由大于3向3接近，它不是一次比一次更接近3，而是近了一大步又退了一小步。但是，因为，。所以，由前面的例子，“可以看出”这数列的极限是。1-3 数列极限例子的分析用柯西的极限概念叙述“若代表某变量的一串数无限地趋向某一个数值，其差可以变为而且保持小于任意给定的量，则该固定值称
6、为这一串数值的极限”，讨论上面4个数列极限的例子。 数列的项（）的数值就是柯西叙述中的“代表某变量的一串数”。“该固定值称为这一串数值的极限”的“该固定值”依次是这4个例子中的。“其差可以变为而且保持小于任意给定的量”中的“差”指的是。 柯西叙述中的“任意给定的量”就是任意给定的正数，记为。由阿基米德性质，对正数，存在正整数，使得，即。 由与知道柯西叙述中的“其差可以变为而且保持小于任意给定的量”指的是 “可以变为而且保持小于正数”。 在1-2中，对4个例子已经都得到了不等式 ，。根据，存在正整数。于是，当时，恒有 。这样，我们用算术不等式表达了。1-4 数列极限的定义经过1-3的分析，已经可
7、以给出魏尔斯特拉斯采用“语言”与不等式的方法，“算术化”地表述极限概念如下：定义 设有数列与常数。如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得只要正整数，都有，那么，就称数列以常数为极限注1 数列以常数为极限，记为 或 。这时也称数列收敛于常数。一般地，有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列称为发散数列。1-5 对数列极限定义的句型分析这个定义中的“设有数列与常数”，是指明讨论的对象，无须解释；需要关注的是下面的精炼表述的完整句子。这个句子有着多层次的逻辑关系，是由三个层次的四个复句叠加而成。初学者理解困难是必然的。为了透彻而正确的理解它，有必要对其语句结构做一些剖析. 第一个层次：定义中的文
8、字是“如果，那么”型的由前后两个分句构成的复句。其中第2个花括号的分句是 就称数列以常数为极限。这里不存在理解问题，也容易记住。难以理解的，是第1个花括号的如下内容： 对于任意给定的正数，总存在正整数，使得只要正整数，都有. 这第1个花括号中的文字是“使得”型的复句，这是第二个层次的复句。“使得”二字前面的方括号是对于任意给定的正数，总存在正整数。这个“对于，总”型的复句，是整个句子中的第三层次的第1个复句。“使得”二字后面的方括号是 只要正整数，都有。这个“只要就有”型的复句，是整个句子中第三层次的第2个复句。 这里先把上面的剖析用下面的三行文字汇总起来：“如果 对于（任意给定的正数），总（
9、存在正整数），使得（只要正整数），都有（），那么， 就称数列以常数为极限 ”准确理解第三层次的两个复句（即四个圆括号），是理解和把握数列极限定义的关键。第三层次的两个复句中有“任意”、“给定”， “总”、“存在”，“使得”，“只要”，“都有”等，彼此的连带关系比较复杂；尤其是“任意”、“总”、“存在”三者，字面上看似明白而又不确切理解，增加了教与学的困难.1-6 对数列极限定义的含义剖析以下7点，有助于对数列极限定义的理解： 1、“任意给定的正数”中的“任意”表明正数的“给定”没任何有限制条件，既可以给定为这样的正数，又可以指定为另外的正数。可以理解为“不论给出怎样的正数”或“每一个正数”。总
10、之，是个可以任意选取的正数。 2、“总存在正整数”中的一个“总”字，表明这里存在的依赖于的给定。在先给定之后，再根据来确定正整数；即跟从(依赖)于。这样的有一个就有无穷多个。这正整数是贵在“存在”，不拘大小。 3、“只要正整数大于，都有”，在这里体现了前面的和的作用。由知道：正数的作用在于表示数列的项与常数接近的程度，所以正数 以小为贵。需要时可以限制小于任何一个正数，如，等；而不能限制大于任何正数。“大于的正整数”，这样的显然是，这是除去前个正整数之后的所有的正整数；它们对应的是数列的除去前项之后的无限多项.所以，“只要正整数大于，都有”表示无限多个非负数中的每一个都小于.4、 试问：由的前
11、项所得到的个非负数 是否都不小于呢？在定义的叙述中，根本没有涉及到这个非负数；也就是说，对这个非负数的大小没有任何限制，可以都小于，可以有一部分小于，也可以都不小于。 5、数列以常数为极限在数轴上的几何解释是：不论正数怎样小，在开区间之外只能有数列的有限项（含0项）。但是，仅说“在开区间之内有的无穷多项”是不够的，应当说“在开区间之内有的除去有限多项之后的所有的项”。 6、数列以常数为极限定义的最简叙述：任意正数，存在正整数，使得。7、数列不以常数为极限的表述（即定义的逆否命题,称为准则.参看第一章的数列有上界与无上界,特别是第一章的习题18）：准则 数列不以常数为极限的充分必要条件是:存在正
12、数，使得对于任意的正整数，总存在正整数，使得。换一个说法：存在正数，使得在开区间之外有数列的无限多项。1-7 关于=定义的练习题。试回答：满足下列条件的数列具有什么性质（表示任意，表示存在, N表示正整数集合）：1、0， N，有|-|0， N，有|-|. 3、0， N，有|-|0， N，有|-|0， N，有|-|0， N， 有|-| 0，有|-| 0，有|-|0， N， 有|-|0， N，有|-|.11、0， N，有|-|.12 N， N，有13、 N，存在正数，有14、对任意正数，存在正数，有.注1 对于数列极限定义中的，总是有人要问：“正数是常量还是变量？”现在从两方面回答这个问题。一方面
13、，把数量分为常量与变量，大体上兴起于笛卡儿（Rene Descartes，1596-1660，法国数学家、科学家和哲学家，解析几何的创始人）时代，鼎盛于柯西时代。这样的动态观点对数学的发展起到了重要的作用。而魏尔斯特拉斯由静态观点建立的彻底形式化的极限定义，比动态动态观点提高了一大步，达到了能够沿用至今的新的高度。动态观点不得不让位于静态观点，动态观点已经在边沿化。所以，没有理由要求静态观点的术语再用动态观点给出解释。另一方面，“任意给定的正数”本来就是一句大白话，没有再做出解释的必要。如果一定要回答“正数是常量还是变量”这个问题，结论是显然的：因为正数不是固定于一个数，可以取不同的数值，所以
14、是变量。而这对于理解用静态观点给出的数列极限-定义，没有带来任何益处，还给“静态”二字蒙上一层阴影。注2 前面已经指出“整数是贵在存在”。许多微积分的教科书总是要把这整数求出来，甚至要求出最小的（因为正整数的子集中必有最小的正数），这都不是必要的，只要能够证明存在就够了。找出的当然是存在的；而存在的未必能够找出来，也未必需要找出来。 2 收敛数列的基本性质与运算定理2-1 基本性质 定理1 （有界性）收敛数列是有界数列。证明 设。对，存在正整数，使得。知 。将与共个数中最大的记为，即 ，得 。定理2 （保号性）设，。则 时，对，存在正整数，使得； 时，对，存在正整数，使得。证明 取，由定义，存在正整数，使得。仿此可证。注1、这两个定理的证明，都是根据已知极限存在，所以可以根据证明的需要来适当的选取。在证明定理1时是选取，当然选取其他的正数也是可以的。证明定理2时是选取，当然选取其他的也是可以的。注2、本章以下将符号“”简记为“”。2-2 四则运算定理定理3 四则运算设数列、都有极限，C是一个常数，则数列 +、 C都有极限，如果再增加条件
