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1、第七章 习题解答(部分)1用矩形窗设计一个FIR线性相位低通数字滤波器。已知，。求出并画出滤波器的幅度响应曲线。解：由题意得理想线性相位低通滤波器为： 理想低通滤波器的单位冲激响应为：式中为线性相位所必须的位移， 。因此该低通滤波器的幅度响应曲线如图1所示。图1 习题1低通滤波器的幅度响应曲线2用矩形窗设计一个FIR线性相位高通数字滤波器。已知，。求出并画出滤波器的幅度响应曲线。解：理想高通滤波器的频率特性为：理想高通滤波器的单位冲激响应为： 式中为线性相位所必须的位移， ，因此该低通滤波器的幅度响应曲线如图2所示。图2 高通滤波器的幅度响应曲线图3用矩形窗设计一线性相位高通滤波器（1）写出的
2、表达式，确定与的关系。（2）问有几种类型，分别是属于哪一种线性相位滤波器？（3）若改用汉宁窗设计，写出的表达式。解：根据是题意，单位冲激响应为： 式中为线性相位所必须的位移，已知需满足。(说明：在题中只给定了在()之间的表达式，但在求解时，必须把它看成()或()之间的分布，不能只用()区域求解。)（2）情况1：为奇数，为整数，关于偶对称。即有，为第一种类型线性相位滤波器。情况2：为偶数，不是整数，这时关于奇对称，即，因此为第四种类型线性相位滤波器。（3）4用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器（1）设计为奇数时的。（2）设计为偶数时的。（3）若改用汉明窗设计，写出以上两种形式的表达式。解：根据该线
3、性相位带通滤波器的相位：可知该滤波器只能是为偶对称的情况，为偶对称时，可为第一类和第二类滤波器。(1)当为奇数时， 为第一类滤波器。理想单位冲激响应为： 所以单位冲激响应为：因为和均对偶对称，所以亦对偶对称，为保证线性需满足。（2）当N为偶数时，为第二类滤波器（3）若采用海明窗设计，则。为奇数时，为偶数时，5低通滤波器的技术指标为 用窗函数法设计一个满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。解：有已知条件可知，则过渡带宽。，通过查表，选择汉宁窗。其阻带最小衰减满足要求。所要求的过渡带宽(数字频域) 。由于汉宁窗过渡带宽满足，所以滤波器阶的参数为：所以理想低通滤波器的单位冲激响应为： 式中为线性相
4、位所必须的位移，需满足。由汉宁窗表达式确定FIR滤波器的。由于汉宁窗函数序列为：因此，所设计滤波器的单位冲激响应为：6用矩形窗设计线性相位低通滤波器，逼近滤波器频率响应满足： （1）求出相应于理想低通滤波器的单位冲激响应；（2）求出矩形窗设计法的表达式，确定与之间的关系；（3）取奇数或偶数对滤波器特性有什么影响？解：（1）(2) 为了满足线性相位条件，要求，为矩形窗函数长度。加矩形窗函数得到：(3) 取奇数时，幅度特性函数关于三点偶对称，可实现各类幅频特性；取偶数时，关于奇对称，即，所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。7请选择合适的窗函数及来设计一个线性相位低通滤波器要求其最小阻带衰减为，过
5、渡带宽为，求出并出幅度响应曲线。解：理想低通滤波器的单位冲激响应为：式中为线性相位所必须的位移，需满足。由阻带衰减来确定窗形状，由过渡带宽确定。由于，查表可选海明窗，其阻带最小衰减满足要求。所要求的过渡带宽(数字频域)。由于采用海明窗，过渡带宽满足，所以由海明窗表达式确定FIR滤波器的。由于海明窗函数序列为：因此，所求滤波器的单位冲激响应为：， 8用频率采样法设计一个线性相位低通滤波器，边沿上设一点过渡带。试求各点采样值。解：因为为偶数，因此只能是第二种类型滤波器，即。由于频率间隔， 因此采样点的相位值为：而，（在k=8处）为保证通带指标，取为过渡点，所以9用频率采样法设计一线性相位高通滤波器，通带边界频率，边沿上设一点过渡采样点，求在（1）及（2）时的采样值。解：（1）因为为奇数，所以只能是第一种类型滤波器，即。频率间隔，因此采样点的相位值为：又因，满足。因此若取为过渡点， 则有若取为过渡点， 则有（2）因为为偶数，所以只能是第四种类型滤波器，即。由于频率间隔，因此采样点的相位值为：又因，满足。因此 若取为过渡点， 则有若取为过渡点， 则有137
