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1、习题研究巧构辅助圆 妙解物理题浙江海盐元济高级中学（314300）王建峰浙江海盐高级中学（314300）马永芬解物理习题时，若能巧借辅助圆，将会产生意想不到的效果。辅助圆按其作用与功能可分为“矢量圆、等时圆、等势圆、动态圆、谐振圆”。本文试想通过几例来阐述辅助圆在解题中的妙用。1 矢量圆ADvuv1图1L矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。在矢量的合成与分解中若能借助“矢量圆 ”就能有效地化繁为简，并能加深对矢量概念的理解。 例1 一条宽为L的河流，水流速为u，船在静水中划行的速度为v ，且vu。要使船到达对岸的位移最短，船的航向如何？解析 水流速u、船在静水中的速度v与船的合
2、速度v1构成一矢量三角形，且船在静水中的速度v 大小不变，方向不定，构建如图1所示的矢量圆。显然，当AD与矢量圆相切时，船航行的位移最短。由图可得船的航向与河岸的夹角。图2R2 等时圆如图2所示，竖直放置的圆环，若物体从最高点沿各光滑弦加速下滑，其下滑的时间相等，且时间（R为圆环的半径，g 为重力加速度），这样的圆环称之为“等时圆”。在解决有关动力学问题时，恰当地构建等时圆不但能化解难点，而且能激发学生的解题思维。例2 两光滑斜面的高度都为h，OC、OD两斜面的总长度都为l，只是OD斜面由两部分组成，如图3所示，将甲、乙两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球
3、先到达斜面底端？BDC甲乙图5AOODC甲乙图3图4tvt乙t甲VC解析 （解法1）本题往往采用v-t图象求解，作出物体分别沿OC、OD斜面运动的v-t图象（如图所示4），由图象可得乙球先到达斜面底端。（解法2）构建如图5所示的等时圆，交OC于A点，交OD于B点。由“等时圆”可知，。由机械能守恒定律可知：，所以。又因为两斜面的总长度相等，所以，根据得，所以有，即乙球先到达斜面底端。3 等势圆点电荷的等势面是以点电荷为圆心的圆面组成，这样的圆面称之为“等势圆”。借用等势圆来解题能化难为易。例3 （2002年江苏等省理综第30题）如图6所示，直角三角形的斜边倾角为30，底边BC长为2L，ABCO。
4、D图6ABCQD图7处在水平位置，斜边AC是光滑绝缘的，在底边中点O处放置一正电荷Q，一个质量为m，电量为q的带负电的质点从斜面顶端A沿斜边滑下，滑到斜边上的垂足D时速度为v。则：该质点运动到非常挨近斜边底端C点时速度vc为多少？没斜面向下的加速度ac为多少？解析 点电荷沿斜面AC下滑时，电场力在不断变化，无法利用动能定理及能量守恒关系直接列式求解，从而使解题陷入困境。图8N由几何关系可引入图7所示的等势圆，由于D、C二点位于同一等势圆上，电荷从D运动到C电场力做功为零，只有重力做功，所以电荷在D点的机械能与C点的机械能相等，即：对电荷在C点受力（如图8所示），由牛顿第二定律得：，解得：。图9
5、xyo4 动态圆带电粒子进入匀强磁场，若带电粒子的速度大小、方向不定，则粒子在磁场中作一系列圆心、半径在时刻变化的“动态圆”，构建系列动态圆能化俗为奇。例4 半径为R=10cm的圆形匀强磁场，区域边界与y轴相切于坐标原点，磁感应强度B=0.332T，方向垂直纸面向里。在原点O处有一放射源S，可沿纸面向各个方向射出速率均为的粒子，已知已知粒子的质量为，电量，试确定粒子通过磁场的最大偏向角。解析 粒子在磁场中作半径为r的匀速圆周运动，可得：从而可构建一系列半径为20cm并交于O点的旋转动态圆（如图9所示），由各动态圆不难得到要使粒子的偏向角最大，必然粒子在磁场区域内的弦最长。图10r1R1R2所以
6、粒子的最大偏向角例5 核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图10所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4C/，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。解析 （1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，在磁
7、场区域中作圆周运动，由于粒子的速度大小不定，构建如图10所示的半径不同的动态圆，要使粒子不能穿越磁场，从各动态圆中不难得到粒子的临界动态圆必须与外圆相切。图11O1O2由图中知，解得由得所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为。（2）所有粒子在磁场中作半径不定，圆心也不定的动态圆，在所有动态圆中粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且动态圆与外圆相切时，则以V2速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界（如图11所示）。由图中知，算出对应的速度，这一速度即为所有粒子不能穿越磁场的最大速度。5 谐振圆当一个物体（质点）在一平面上做匀速圆周运动时，它的投影点的运动是简谐运动
8、，这个圆通常称为“谐振圆”。利用谐振圆，可以把振动这部分知识融为一体，而且它利用学生相对熟悉的圆周运动为起点，降低了学生的认知难度。利用谐振圆，能使问题直观明了，在求解振动的时间问题时尤显优势。0x/cmA24-24v图1212B例题6 如图12所示，一只椭球形的鸡蛋长轴是6cm，短轴是4cm，鸡蛋在x轴上做简谐运动，运动过程中椭球的焦点在x轴上，鸡蛋的端点正好不碰到A、B两点，即在A、B之间往复运动，现有一支枪固定在支架上，以垂直于x轴的方向射出子弹正好瞄准x=12cm处，子弹可看成质点，子弹的速度比鸡蛋的速度大得多，现有一个瞎子扣动扳机，那么他击中鸡蛋的概率是多大？21x/cm1590CD图13解析 鸡蛋中心在之间作简谐运动，但只有在之间时能被击中。构建如图13所示的谐振圆，要击中鸡蛋相当于质点位于弧CD之间。其对应的相位为, 则击中鸡蛋的概率为 辅助圆在解中学物理习题时有其独特的魅力，不仅能使抽象的物理问题更形象、直观，求解过程简洁明了，而且还具有创新意识，对提高解题能力和发展求异思维无疑有很大的帮助。1
