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1、 第6讲 三定问题（定点、定值、定直线）考法一 定点1（2020安徽马鞍山高三三模）已知动圆过点(2，0)，被轴截得的弦长为4.（1）求圆心的轨迹方程；（2）若的顶点在的轨迹上，且，关于轴对称，直线经过点，求证：直线恒过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设动圆圆心，由题意可得：，整理得：，所以，动圆圆心的轨迹的方程：（2）由题意，直线经过点，设，直线的方程：与抛物线方程联立：得到：，显然由根与系数关系：，再设直线 的方程：，与抛物线联立：得到：，由对称性知：，又由根与系数关系：所以：，即，直线的方程：，直线恒过定点.2（2020福建高三其他（理）已知椭圆的离心率为，上顶点为
2、A，右顶点为B.点在椭圆C内，且直线与直线垂直.（1）求C的方程；（2）设过点P的直线交C于M，N两点，求证：以为直径的圆过点.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）因为A为椭圆的上顶点，所以，则直线的斜率.因为与直线垂直，所以，解得. 设C的焦距为，因为C的离心率为，所以，.则，所以.所以C的方程为.（2）由（1）知，. 当直线的斜率为0时，线段即为C的长轴，M或N与B重合，则以为直径的圆过点B.当直线的斜率不为0时，设其方程为.联立，消去x得，整理得，设，.则，.那么，所以. 所以，即以为直径的圆过点B.3（2020武威第六中学高三其他（理）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆
3、的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】(1)由题意可得，又， 解得，.所以，椭圆的方程为 (2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.设，定点.(依题意则由韦达定理可得，. 直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数. 所以，即得. 又，所以，整理得，.从而可得， 即，所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.考法二 定值1（
4、2020甘肃城关兰州一中高三）已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与l，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线l与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）设因为点B在抛物线C上，（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设，代入得，所以因此，同理可得因此2（2020河北新华石家庄二中高三）已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究的横坐标的
5、乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）是定值，【解析】（1）由已知，的坐标分别是由于的面积为，又由，化简得，两式联立解得：或（舍去），椭圆方程为；（2）设直线的方程为，的坐标分别为则直线的方程为，令，得点的横坐标，直线的方程为，令，得点的横坐标，把直线代入椭圆得，由韦达定理得，是定值3（2020全国高三课时练习（理）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】(1)由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.(2)设点.
6、因为AMAN，即,当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1.代入椭圆方程消去并整理得：, ,根据,代入整理可得： 将代入，整理化简得,不在直线上，于是MN的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线MN的斜率不存在时，可得,如图2.代入得,结合,解得,此时直线MN过点, 由于AE为定值，且ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）.由于，故由中点坐标公式可得.故存在点，使得|DQ|为定值.考法三 定直线1（2020安徽高三其他（理）已知椭圆，分别为椭圆C的左，右焦点，过且与x轴不重合的直线l交C于P，Q两点，的周长为8，面积的最大值为2（1）求C的方程；（2）点，
7、证明：内切圆的圆心在x轴上【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）的周长为8，面积的最大值为2，即，又，故椭圆的方程为（2）由（1）得，设直线的方程为，代入，消去整理得：，设，则，记直线，的斜率分别为，则，因此内切圆的圆心在轴上2（2020辽宁高三其他（理）已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，设动点形成的轨迹为曲线.（1）求曲统的方程；（2）过点的直线与交于，两点，已知点，直线分别与直线，交于，两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）设，由题意得，整理化简得，曲线方程为.（2）设直线的方程为，设，直线的方程为，同理，所以，即，联立，所以，代入得，所以点都在定直线上.
