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1、ABB-* / FAFFB455AG AB1 丿川曲 AFGdAIA-AD -B的大小为arcsin 一4（川） ABD 中，BD=AD=、5, AB =2 2, S 6,AABDBCD=1 在正三棱柱中,A到平面BCC1B1的距离为3 设点C到平面ABD的距离为d 由vAcd =VcBD，ASBCDLEHaa Abd 2BD.d 二bcd 二_2 A1BD立体几何新题型的解题技巧【命题趋向】在高考中立体几何命题有如下特点：1. 线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系2. 多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现.3. 多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题
2、，填空题出现4. 有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点此类题目分值一般在17-22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点透视】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在
3、解答 题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特 色.求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应 用.例1如图，正三棱柱abc ABC的所有棱长都为2 , D为cC.中点.i ii（【）求证：AB1丄平面A1BD ;（n ）求二面角A
4、-AD-B的大小；（川）求点C到平面ABD的距离. 考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识， 考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解答过程：解法一：（I）取BC中点0连结A0.ABC为正三角形，.A0丄BC .T正三棱柱ABC ABG中，平面ABC丄平面BCC1B1，二AO丄平面BCC 1 B .1 1 1连结B10，在正方形BB1C1C中，0,D分别为BC, CC1的中点，. BQ丄BD ,. AB1丄BD .在正方形 ABB1A中，AB1丄AB ,.AB1丄平面 ABD （n）设AB1与A B交于点G，在平面A BD中，作GF丄A D于F，连
5、结AF，由得AB.AF丄AD , / AFG为二面角A-AD-B的平面角在 AA D中，由等面积法可求得.点C到平面ABD的距离为_2 .解法二：（I）取BC中点0 ,连结2A0 : ABC为正三角形，.A0丄BC . V在正三棱柱ABC _ABG中，平面ABC丄平面BCC戶，.AD丄平面BCGB.取BG中点。以0为原点，OB ,oo, oa的方向为x, y5 Z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B (1,0,0) , D (_1,1,0)A (023)，A(0,0j3) , Bj(1,2,0),.AB =(1,2,. 3), BD m,。)，BAA =(-1,2, 3)ABiLBA - -1
6、 亠 4 -3=0 ,.AB 丄 BD, AB 丄 BA - . ABi丄平面 A BD .（n）设平面A AD的法向量为n=(x, y, z)-AD =( 11, .3),盲=(0,2,0).7 n 丄 AD , n 丄 AA；nLAD nAAA=0,-x y - . 3z =0,2y =0,y =x = 3z.cos : n ,9CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离JT*令z T得n二（一3,0,1）为平面A AD的一个法向量.由（I）知AB丄平面ABD , . AB1为平面ABD的法向量.- -二面角A一A D一B的大小为arccos 4（川）由（口），AB；为平面ABD法向量,
7、点 C 到平面 ABD 的距离 d = B0ABi 二丄-2 =2 . |aB； 122小结：本例中（川）采用了两种方法求点到平面的距离解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的面AMB1的距离转化为容易求的点K到平面AMB1的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等 B点到平体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法 考点2异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离例2已知三棱锥S- ABC，底面是边长为4、2的正三角形，棱SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、A
8、B的中点，求CD与SE间的距离. 思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步 转化成求点到平面的距离解答过程：如图所示，取BD的中点F,连结EF , SF, CF,-EF 为 BCD 的中位线，.EF / CD,. CD /面 SEF ,又幕线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF 的距离，设其为h由题意知，BC=4、.2,d、E、F分别是 AB、BC、BD的中点，-i.CD =2 .6,EF CD=.6,DF2 VsQEF-丄 EF DF3 2在 Rt SCE 中，SE 二,SC2 CE2又 EF 二一 6， S
9、.sef =3=2.3 在 Rt. SCF 中，SF hJsC2 CF2 =$4 24 2 = ；302 A32 3由于V二Vhh c sef s cef S.sef 、即一3 h，解得h故CD与SE间的距离为-3333小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程 考点3直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化例3如图，在棱长为2的正方体aC1中，G是AA的中点，求BD到平面GB1D1的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解解答过程：解析一 BD /平面GBU , BD上任意一点到平面GBDj的距离
10、皆为所求，以下求A点o平面GBiD1的距离，B. D. AC B. D. Ai A - Bi DA 平面 a ACG11I.又B.D.-平面GB D.平面AACC. GB.D.，两个平面的交线是O.G,C作OH _ 0.G于H,则有OH 平面GR D.，即oh是0点到平面GB.D.的距离.在 OOG 中，Sy。O.O AO 二扌 2.21又 S O|OG2 OH O.G.厂3 OH - - 2,. OH 22八63 即 BD到平面GBP的距离等于2、63解析二BD /平面GB1D.,BD上任意一点到平面GB.D.的距离皆为所求，以下求点B平面GB. D.的距离.设点B到平面GB.D.的距离为h
11、，将它视为三棱锥B-GB.D.的高，则B -GB. D. D. -GBB.由于S.bd.丄丄 222 =3,11 =3232八6即BD到平面GB.D.的距离等于小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离所以求线面距离关键是选准恰当点，转化为点面距离本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离考点4异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角 异面直线所成的角是高考考查的重点 典型例题例4如图，在RtAAOB中，OAB二上，斜边AB =4 . Rt AOC可以通过RtA AOB以直线 一 一 6轴旋转得到，且
12、二面角B - AO - C的直二面角.D是AB的中点.证平面*求 (II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内COD平面CO AO BO AOAOB ； (II)求异面直线AO与CD所成角的大小.思路启迪解答过程：解法1：(I)由题意， BOC是二面角B - AO -C是直二面角，.CO _ BO,又 t AOABO =O , CO _ 平面 AOB,又 CO 平面 COD .平面COD 平面AOB .(II)作DE _OB,垂足为E,连结CE (如图)，则DE / AO ,.CDE是异面直线AO与CD所成的角.在 RtCOE 中，CO = BO =2 , OE 二丄 BO =1 ,2
13、平面.CE =:; CO2OE2 =:5 又 DE2一在 RtACDE 中，tanCDE 二些二一5 二 DE V3 3异面直线AO与CD所成角的大小为tarctay解法2: (I)同解法1.(II)建立空间直角坐标系0 -xyz，如图，贝V0(0,0,0) , A(0,0,2,3) , C(2,0,0) , D(0,1, 3),oAcd,OA 3), CD 3, 3), cS : OAC 八鬧 一 2 亦-异面直线AO与CD所成角的大小为4小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特 殊选方法同时要特别注意异面直线所成的角的范围：0点”
14、，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在 于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首考点5直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容例5四棱锥S-abcd 中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC_底面ABCD 已知/ ABC =45： , AB =2 , BC =2 ,SA 二 SB = .3 .(I)证明SA_BC；(n)求直线SD与平面SAB所成角的大小.考查目的：本小题主要考查直线与直线，直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、 逻辑思维能力和运算能力.解答过程：解法一：(I)作SO丄BC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC丄底面ABCD ,D 得SO丄底面ABCD 因为SA = SB,所以AO = BO,SD =：0DACD得SO丄平面ABCD .所以，直线SD与平面SAB所成的角为. 22 arcsi n又1 ABC =45：,故 AOB为等腰直角三角形，AO丄BO,由三垂线定理，得SA丄BC .(n
