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1、高三数学微专题：平面向量中的最值问题类型一：“数量积与不等式性质相结合”例1如图，菱形ABCD的边长为2，ZBAD=60，M为DC的中点,为菱形内任意一点(含边界)，则AM AN的最大值为.解析：设 AN =AAB,因为 N在菱形 ABCD 内，所以 0W久W1,0WW1. AM = AD +*DC =2AB + AD .所以 AM AN =讣AB + ADAB AD )=2ab2十) AB AD AD 2=|心 +(+2)X2X2x|+4w=4A+5.所以 OW AM AN W9,所以当久=1 时，AM AN 有最大值 9,此 时，N位于C点.答案：9类型二：“通过坐标转化为函数最值问题”例
2、2已知直角梯形ABCD中，ADBC,ZADC=90。，AD=2, BC=1, P是腰DC上的动点，则IP4 + 3PBI的最小值为。解析 以D为原点，分别以DA, DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC =a, DP=y。则 D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，PA = (2，-y), PB=(1，a-y)，则PA + 3PB=(5,3a-4y)，即lPA + 3pB|2=25 + (3a4y)2，由点P 是腰3DC上的动点，知OWyWa。因此当y=4。时，IPA+3PBI2的最小值为25。故IPA + 3PBI的最小值为5。答案5类型三
3、：“通过换元法转化为三角函数最值问题”例3在矩形ABCD中，AB=1，AD = 2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上。若AP=AAB+AD, 则久的最大值为()A. 3B. 2.12C.活 D. 2x+2=2， 、y1 = 九解析 根据已知条件，以C为原点，BC为x轴，CD为y轴建立平面直角坐标系。设圆的半径为r，由题 意知BD= & 利用等面积法可得rXJ5 = 2,解得r=，所以圆的方程是x2+y2=|o由题意得B( 2,0)，2 “ x=ycosO, y=2所以+久=2吾sinA(2,1)，D(0,1),设 P(x, y),因为AP=AAB+aD,所以(x+2, y1)=A(0,
4、-1)+(2,0),即xx所以久=2十1 +1 y=2y+o根据圆的方程可得cos0=2击(2sin0cos0) = 2 sin(0y)，显然久)max=3。故选 A。类型四：“通过坐标转化为直线与圆位置关系问题”例 4已知向量OA, OB满足IOAi=iOBi=i, OA丄OB, OC=%OA+OBa，wr)。若 m为 ab 的中点, 并且iMCi=i,则的最大值为()a. iV3b. i+V2c. V5d. i+逅解析 因为向量OA, OB满足IOAi=iOBi=i, OA丄OB,所以可以分别以OA, OB所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1)。又因为M为AB
5、的中点，所以mQ, 2)。因为OC=OA+“OBa, wr),所以Oc=aOA+OB=a(1,0)+(0,1)=(A, “)，即点ca, “)。所以MC=C2 一。因为MC1=1,所以(久 _2)2十0_2)2=1,为圆心，1为半径的圆上。令t=A+,则直线久+“1=0与此圆有公共点，所以d=2 W1,解得一2+1WtWp2+1,即久的最大值是1十1；2。故选 B。类型五：“向量与基本不等式相结合”例5已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，贝网(PB+PC)的最小值是()A. 2b.-2c.-4 D.解析：法一：如图，PB+PC=2pD(D为BC边的中点)，则PA(PB+PC
6、) = 2PDPA。要 使PAPD最小，则PA PD方向相反，即p点在线段ad上,如图。贝q(2pDPA). =2iPAiiPD min fff_f 昉一一(一f、I,即求 IPDI I PA I 的最大值，又 iPA I +1 PD I = lADl = 2X-=迈，则 IPAI IPD I 1PA 1 +1 PD 1 22k 2丿34f f33则 2(PDPA) . =2X =o 故选 B。min42法二：解析：以BC边中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(0, 3),B(1,0), C(1,0)o 设P(x, y),则有PA = (x,诟y), PB=(1x,y), PC=(
7、1x, y)，所以PA(PB+PC) = 2x223y+2y2=2 x2+(岁一3。故其最小值为2x(4)=2,此时x=0,故选 B。配套练习1. 设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点(含边界)，贝臥办AN 的最大值为()A. 32B. 24C. 20D. 162. 已知ABC的外接圆半径为2, D为该圆上的一点，且AB+AC=Ad,则ABC的面积的最大值为()A. 3B. 4 C. 3忑D. 4月3.已知点 A(1，-1), B(4,0), C(2, 2),平面区域 D 由所有满足AP=AAB+AC(AG1, a, 丘1, b)的点P(x, y)组成。若区域
8、D的面积为8,则a+b的最小值为()A. |B. 2C. 4 D. 84. 已知 O, A, B 三点的坐标分别为 0(0,0), A(3,0), B(0, 3),且 P 在线段 AB 上, AP=tAB(0WtWl), 则施町-的最大值为()A.羽B. 3C. 2込D. 95. 已知点G是AABC的外心，GA, GB, GC是三个单位向量，且2GA+AB+aC=0,如图所示，ABC的顶点B, C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，0是坐标原点，贝川施|的最大值为.6. 已知向量a, b满足lal = 1, lbl=2,则la+bl+labl的最小值是，最大值是。7. 已知点 A(1m,0), B(1+m,0)，若圆 C： x2+y28x8y+31 = 0 上存在一点 P 使得PA PB=0,则 m 的最大值为。8. 在矩形 ABCD 中，AB=M BC=V3, P 为矩形内一点，且 AP=乎，若AP=AAB+ADa，WR),求远入+述3卩的最大值。
