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1、2004年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有道试题，满分分，考试时间分钟.一、填空题（本大题满分分）本大题共有题，只要求直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）1、若，则.2、设抛物线的顶点坐标为，准线方程为，则它的焦点坐标为.3、设集合,集合，若,则.4、设等比数列的公比，且,则.5、设奇函数的定义域为，若当时，的图像如右图,则不等式的解是.6、文已知点和向量，若，则点的坐标为.理已知点，若向量与同向，则点的坐标为.7、文当满足不等式组时，目标函数的最大值为.理在极
2、坐标系中，点到直线的距离.8、文圆心在直线上的圆与轴交于两点，则圆的方程为.理圆心在直线上的圆与轴交于，则圆方程.9、若在二项式的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是.(结果用分数表示)10、若函数在上为增函数,则实数的取值范围是.11、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质.12、若干个能唯一确定一个数列的量我们称为该数列的基本量，设是公比为的无穷等比数列，下列的四个量中，一定能成为该数列“基本量”的是第、组.（写出所有符合要求的组号）与与与与（其中为大于的整数，为的前项和）二、选择题（本大题满分分）本大题共有题，每题都给出
3、代号为、的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得分，不选、选错或者选出的代号超过一个（无论是否都写在圆括号内）一律得零分.13、在下列关于直线与平面的命题中,真命题是()若且，则若且，则若且，则若且，则14、理是周期为的函数，当时，则的解集为（）文三角方程的解集为（）15、若函数的图像可由函数的图像绕坐标原点逆时针旋转得到，则()16、某地年第一季度应聘和招聘人数排行榜前个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,
4、就业形势一定是()计算机行业好于化工行业建筑行业好于物流行业机械行业最紧张营销行业比贸易行业紧张三、解答题（本大题满分分）本大题共有题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17、（本题满分分）已知复数满足，其中为虚数单位，若，求的取值范围.参考解答：由题意得，于是，由，得，因此实数的取值范围为.18、（本题满分分）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为(单位：)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成总面积，问分别多少时用料最省？(精确到)参考解答：由题意得，所以，于是框架用料长度为，当，即时等号成立，此时.因此当为，为时，用料最省.19、（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分
5、分，第小题满分分.函数定义域为，定义域为求；若，求实数的取值范围.参考解答：由，得，所以或，即.由，得，因为，所以，所以.因为，所以或，即或，而，所以或.因此当时实数的取值范围为.20、文（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分.如图，直线与抛物线交于两点，线段的垂直平分线与直线交于点.求点的坐标；当为抛物线上位于线段下方（含点）的动点时，求面积的最大值.参考解答：解方程组，得或，即，从而的中点为.由，得线段的垂直平分线方程为，令，得，所以.直线的方程为，设.，因为点到直线的距离为，所以.因为为抛物线上位于线段下方的点，且不在直线上，所以或.因为函数在区间上单调增，且当时，；当
6、时.所以当时，的面积取到最大值.20、理（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分.已知二次函数的图像以原点为顶点且过点，反比例函数的图像与直线的两个交点间距离为，求函数的表达式；证明：当时,关于的方程有三个实数解参考解答：由已知，设，由，得，所以.设，它的图像与直线的交点分别为，由，得，.因此.证法一：由得，即.在同一坐标系内作出和但是大致图像，其中的图像是以坐标轴为渐近线，且位于第一、第三象限的双曲线，的图像是以为顶点，开口向下的抛物线.因此，与的图像在第三象限有一个交点，即有一个负数解.又因为，所以当时，在第一象限的图像上存在一点在图像上方.所以与的图像在第一象限有两个交点
7、，即方程有三个实数解.证法二：由，得，即，得方程的一个解.方程可化为，由，得，因为，所以，且，若，即，则，得或，这与矛盾，所以，故原方程有三个实数解.21、（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分.如图是底面边长为的正三棱锥，分别为上点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）证明：为正四面体若，求二面角的大小； 设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.参考解答：因为棱锥与棱台的棱长和相等，所以，所以为正四面体.
8、取中点，连接.因为，所以平面，则为二面角的平面角.由知，的各棱长均为，所以，由是的中点，得，所以.存在满足条件的直平行六面体.棱台的棱长和为定值，体积为.设直平行六面体棱长均为，底面相邻两边夹角为，则该六面体棱长和为，体积为.因为正四面体的体积为，所以，可知.故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为的直平行六面体即满足要求.22、文（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分.若的方程为，点及，求点的坐标；（只需写出一个）若的方程为，点，对于给定的自然数， 证明：成等差数列；若的方程为，点，对于给定自然数，当公差变化时，求的最小值.文参考解答：，由，得.由，解得，所以点的坐
9、标可以为.对每个自然数，由题意，及，得，即，所以是首项为，公差为的等差数列.（解法一）原点到二次曲线上各点的最小距离为，最大距离为，因为，所以且，所以.因为，所以在上递增，故的最小值为.（解法二）对每个自然数，由，解得，因为，得，所以，以下与解法一相同.22、理（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分.设是二次曲线上的点，且，构成了一个公差为的等差数列，其中是坐标原点，记.若的方程为，点且，求点的坐标；（只需写出一个）若的方程为，点，对于给定自然数，当公差变化时，求的最小值；请选定一条除椭圆外的二次曲线及上一点，对于给定的自然数，写出符合条件的点存在的充要条件，并说明理由.理参考解答：，由，得，由，解得，所以的坐标可以为.（解法一）原点到二次曲线上各点的最小距离为，最大距离为，因为，所以且，所以.因为，所以在上递增，故的最小值为.（解法二）对每个自然数，由，解得，因为，得，所以，以下与解法一相同.（解法一）若双曲线，点，则对于给定的，点存在的充要条件是.因为原点到双曲线上各点的距离，且，所以点存在当且仅当，即.（解法二）若抛物线，点，则对于给定的，点存在的充要条件是.理由同上.（解法三）若圆，点，则对于给定的，点存在的充要条件是.因为原点到圆上各点的最小距离为，最大距离为，且，所以且，即.
