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1、湖州市数学学会2005年度学会优秀论文评比以数学反思为载体 促进学生探究能力的发展浙江长兴古城中学 刘晓忠摘要：利用数学反思提高学生探究能力的示例、途径、效果及建议。关键词：减负增效，数学反思，发展，探究能力一、背景在我的数学教学中，经常被一个问题所困惑：有些学生学习很认真，智力也不差，为什么数学总学不好呢？为了剖析这个问题，我除了向个别学生了解，还召开学生座谈会，从中发现这些学生的一个共同之处是：老师怎么说，他（她）就怎么做，很少对自己的学习行为和学习效果进行反思探究，一贯采用题海战术，学习数学事倍功半。随着减负与新课程改革的进一步深入，对探究性学习要求越来越高，学生对自己的学习缺乏反思的习
2、惯，将会直接影响探究意识的培养。指导学生利用教学反思进行探究性学习，已成为我们数学教学改革的一项重要内容。在数学中，反思历来具有重要的地位和作用。曹才翰先生也非常重视并倡导培养学生对学习过程反思习惯，认为“培养学生对自己的学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率，培养数学探究能力的行之有效的方法。二、利用反思引导学生探究示例 对解题策略进行深入的反思，分析其中的最佳方法，寻找其内在的规律，能很好地培养学生的探究能力ABCDEMFNB图1例1 如图1所示,平行直线EF、MN被相交直线AB、CD所截,请问图中有多少对同旁内角?(1994年全国初中联赛)本题的传统解法是:
3、 (1)从复合的图形中分离出基本图形来(8个“三线八角”基本图形),这需要识别基本图形的能力. (2)分类计数.分别取出MN、，使剩下的三条线段构成“三线八角”基本图形,这里既需要基本的组合思想,又需要准确的“同旁内角”概念,否则容易出现重复或遗漏.这道题目出来后,受到了中学数学界的重视,曾被看成是体现“基本图形”的范题不幸的是这道题目的解法对“三线八角”的认识是浅层的,其局限性当直线不断增加时就立即暴露出来,比如例2 如图2,L1与L2为相交直线,L3与L4为并行线,L5与L6也为并行线,问这6条直线组成多少对同旁内角?L1L2L3L4L5L6图2例3 设直线L1、L2、Lk（k3）或是相交
4、或是平行，但无三线共点的情况，其中Li上有ni个交点（ni0），则这k条直线组成的图形中，有多少对同旁内角？此时引导学生反思：用传统的方法对图形的直观依赖太重了，以至于例2显得难办，例3简直就无法办，那么有没有解此类题的规律呢？此时引入：填空：当一条直线上共有3个点时，有几条线段？ 当一条直线上共有4个点时，有几条线段？当一条直线上共有5个点时，有几条线段？ 当一条直线上共有n个点时，有几条线段？从此题中找出规律：当一条直线上有n个点时，有（n）条线段，即有条线段例如图所示，有几个三角形？例5如图4,共有几个三角形?AABCDEFGH图4FEDCB图3此时引导学生与引例联系起来可知：例BF上共
5、有个点，有条线段，即有个不同的三角形例有条截线GH与BF，所以有2个不同的三角形归纳：如图，当BF上共有n个点时，则有个不同的三角形，当截线有m条时，则有m个三角形经过以上的思考，我们再来回顾“三线八角”.经过观察感到,在“计数”的问题上,三条线的地位是不平等的,要害是截线(确定了同旁内角的顶点、同时也确定了角)，在我们的眼前出现了一幅“截线不动”，“两被截线逐渐收缩”的图景（图5）图5于是，每一个“三线八角”基本图形就对应着截在线的两点，或说对应着截在线线段的条数，据此可以给出问题的一般性解法。例1解，直线AB、CD上各有3个交点，对应着以其为截线的3个“三线八角”基本图形,共得6+6=12
6、(对)同旁内角直线EF、MN上各有2个交点,对应着以其为截线的1个“三线八角”基本图形,共得2+2=4(对) 同旁内角总计6+6+2+2=16(对) 同旁内角这里也分类求和,但与传统的“巧妙解法”不同的是:抓住截线找基本图形.例4解直线Li上有ni个交点(无三线共点表明每一个点都不是重点),对应以其为截线的 ni(ni1)/2个“三线八角” 基本图形,每一个基本图形有2对同旁内角,共得ni (ni1)对同旁内角令i=1,2,3, ,k并相加，得同旁内角共n1(n11)+ n2(n21)+ + nk(nk1)对或（n12+n22+nk2）(n1+n2+nk)对此示例本身的难度是比较高的，但通过反
7、思，分析解题策略，寻找内在规律，能很好地引导所有学生进行研究性学习，培养探究创新能力。三、促进学生反思性学习的主要途径。、强化学生的反思意识。意识是人的头脑对于客观物质世界的反映，是感觉、思维等各种心理过程的总和，是大脑功能活动的综合表现。强化学生反思意识，就是要使学生对自己的学习方式、认知方式、理解程度和思维程度方面做出相应的反应。应让学生明确，没有反思便难以自我改错与纠偏，反思不仅能改正错误，还能优化已有的知识。强化学生的反思意识，当学生有了较强的反思意识后，他们头脑中就有一道“警戒线”，对自己的学习随时保持应有的警觉，一旦有可疑之点即会进入反思状态。、为学生创设反思情境。良好的认知情境能
8、引起积极的心理反应。在数学教学过程中，要重视让学生在情境中构建问题的空间。按照情境教学理论、数学学科的特点和初中生学习数学的认知规律，根据教学的目的和内容，运用适当的教学方法和手段，努力创设一定的教学情境，给学生提供相关的课题或实例，促使学生左、右半脑共同活动，激发学习兴趣和情感，优化认知过程，培养创新能力。如上“近似数与有效数字”时，我请三位同学测量一位同学的身高，结果得出三种答案，此时让学生反思其中原因（测量有误差）及归纳出结论（凡测量或称的结果都是近似数）。通过促进学生的反思，还增强了学生的求知欲望。、给学生提供反思策略。反思不是简单的回顾和一般的分析，而是从新的层面、新的角度看到自己的
9、不足之处。使学生掌握一些反思策略和方法，能帮助他们有效地反思，如：（）建立学习档案给自己建立学习档案，是养成良好反思习惯的途径。学习档案内容可丰富多样，如自己设定的学习目标，好的习题解法或学习方法，容易解错的习题，学习失败的教训等。（）听课反思没有反思的听课是被动的，肤浅的。从教师讲解中反思思考问题的方法，学会捕捉引起反思的问题或提出具有反思性见解。例如，直角坐标系这节课，反思应多集中在为什么引入直角坐标系，直角坐标系与数轴的特点有何不同，以顺利适应直角坐标系处理问题的方法。（）解题反思对问题解答后的结论的正确性的检验或提出疑问；是否还有其它解法或更佳解法；能否对问题的题设或结论进行变式；能否
10、把当前的命题推广到一般情况；进一步考虑问题的题设的完备性（充分性）及结论的精确性等。（）数学周记反思是一种习惯和意识，不断的反思，才会不断地进步。学习是一个系统工程，培养反思习惯的措施是全方位、多角度、多层次的反思。课堂上教师示范解题反思的过程中学生自己提到，但未与教师交流的问题，作业中对某些习题不同解法的探讨，学习情感、体验的感受。都可以通过数学周记（或数学日记）的形式宣泄出来，记录下来，它使师生之间有了一个互相了解、交流的固定桥梁。、增强学生的反思毅力。毅力是一个人承受困难、挫折和失败的能力。反思在一定程度上是自我“揭短”，是一种痛苦的行为。缺乏毅力，反思就很难顺利进行。反思的毅力不仅体现
11、在学生反思的持续性，战胜困难、忍受痛苦等“韧劲”上，而且表现在“督促”自己自始至终盯住自身学习的不合理性上，并敢于向别人“解释”自己的不合理性。试如哈贝马斯所说“谁要是能够解释自己的不合理性，他就是一个具有主体合理性的人。”教学中，通过设置反思障碍，让学生多次尝试，能磨砺学生的反思意志，增强反思毅力。、建立互动的反思关系。反思性学习是依赖群体支持的个体活动，它不仅要求反思者有一个开放、负责、执着的心态，同时需要有合作、协调、信任的环境要求。反思性学习是一种互动的社会实践和交流活动。学生在反思过程中，如果有他人指点或他人合作进行，会加深理解，反思的效果会更显著。建立互动的反思关系，目的是通过互动
12、，培养学生的协调能力与合作精神，建立民主和谐的学习关系（包括师生关系和同学之间的关系），为学生创造更多的成功机会，获得更多的体验，有利于完成能力和道德的双重建构。因此，在教学中应注重让学生相互交流、讨论。课前可以小组为单位，由学生提出在自习中发现的问题。课后则通过建立互助学习小组，共同反思，取长补短。通过建立互动的反思关系，提高反思效果，让学生学会学习，学会交流，学会创新。四、数学反思对研究性学习的促进作用。、突出了学生的主体地位，增强了学生学习的自主性。学生的反思性学习是在教师指导下自主活动的过程，它以学生追求自身学习的合理性为动力，进行主动地、自觉地、积极地探究。数学反思活动的研究性学习营
13、造了一种开放式的学习环境，学生可以根据自己的兴趣、爱好和特长来灵活选择研究的内容和方式，因而有利于学生主动性、独立性、创造性的发挥，有利于学生个性的发展、特长的培养及自我教育目标的实现。、激发了学生对问题的探究精神。反思性学习的灵魂是“提出问题探究问题解决问题”，而“探究”是它的基本特征。学生在学习的各方面因素的相互作用下，通过各种方式启动个人的智慧，把旧知和新知相融合，对反思所遇到的问题分析并研究，从中学会如何把学到的知识加以综合应用。与一般的掌握知识、运用知识解题的学习活动相比较，通过反思的研究性学习更有利于培养学生学习数学的探究精神。、挖掘了学生的创新潜能、培养了创新精神。学生在反思有关
14、问题及解决问题的思维活动中，时刻需要审视、反思的探索活动，并通过知识的融合和重组来解决遇到的难题，深化了对问题的理解，优化了思维过程，认识了问题本质，沟通了知识间的联系，促进了知识的同化迁移，并进而产生新的发现。这时他们的直觉思维能力和创造思维能力就能得到充分培养，学生的创新意识和创新潜力得到了进一步的挖掘。、培养了学生的合作精神。组织小组进行合作研究，避免了班级集体授课的弊端。研究性学习的成败，往往取决于小组成员之间合作的好坏。为了达到共同的学习目标，小组成员之间必须相互了解，彼此信任，经常交流，互相帮助和支持，还需要妥善解决可能出现的各种问题。总之，在课程改革日益深入的今天，关注学生对学习
15、过程和思维过程的反思，使学生在不同的程度上了解自己学习新知识的方法和掌握新知识的程度，是提高课堂教学效果，增强学生学习能力的有效措施。五、建议学生对任意一个课题自由地或自发地进行研究并得出有意义的结论，这种可能性极小，而且自发性的效果肯定不好。创造良好的学习环境，使学生不受干扰，教师扮演引导者的角色，同时给学生以很大的自由空间，让学生自己做研究，而不是将知识“空投”给他们。利用反思指导学生探究性学习的教学中应注意以下几个方面：（）学生应在教师的引导下发现，（）学生在探究中理解，（）探究要面向全体学生。在利用反思进行探究性学习中，要充分估计学生的潜能和创造性，同时应该看到在潜能得以发挥的前提下，教师如何进行监护，做到有度的和谨慎的引导，并倡导“主动、探究、合作”为特征的学习方式。通过不断实践，教师从中获取经验，从而正确地引导学生发挥他们的主动性，让他们真正掌握科学的探究方法，
