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1、一、立体几何知识点归纳第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： 四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底
2、面为矩形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体1.3棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形； 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.4长方体的性质：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】 （了解）长方体的一条对角线与过顶点A的三条棱所成的角分别是，那么，；（了解）长方体的一条对角线与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是，则，.1.5侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：（其中c为底面周长，
3、h为棱柱的高）2.圆柱2.1圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4面积、体积公式：S圆柱侧=；S圆柱全=，V圆柱=S底h=（其中r为底面半径，h为圆柱高）3.1棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.2棱锥的性质：平行于底面的截面是与底面相似的
4、正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：为直角三角形）3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。3.4面积、体积公式：S正棱锥侧=，S正棱锥全=，V棱锥=.（其中c为底面周长，侧面斜高，h棱锥的高）4.1圆锥以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。4.2圆锥的性质：平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到
5、底面的距离之比；轴截面是等腰三角形；如右图：如右图：.4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。4.4面积、体积公式：S圆锥侧=，S圆锥全=，V圆锥=（其中r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长）5.棱台5.1棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.5.2正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形； 如右图：四边形都是直角梯形棱台经常补成棱锥研究.如右图：，注意考虑相似比.5.3棱台的表面积、体积公式：侧，（其中是上，下底面面积，h为棱台的高）6.圆台6.1圆台用平行于圆
6、锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 6.2圆台的性质：圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；圆台的轴截面是等腰梯形；圆台经常补成圆锥来研究。如右图：，注意相似比的应用.6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；6.4圆台的表面积、体积公式：，V圆台，（其中r，R为上下底面半径，h为高）7.球7.1球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；7.2球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面；（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）7.3球与多面体的组合体
7、：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.7.4球面积、体积公式：（其中R为球的半径）例：（06年福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为，则正方体的棱长为_（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2.三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在
8、正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”. （2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。3.直观图是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 3.2斜二测法：1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取 ）；2：画直观图时，把它画成对应的轴，取，它们确定的平面表示水平平面；3：在坐标系中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是
9、原平面图形面积的倍.解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。一、 选择题 1、正方体 中，以 、 、 、 为顶点的三棱锥与正方体的体积之比为（） A、 B、1：3 C、3：1 D、 2、设有四个命题： 底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长都相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体、其中真命题的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、43、四条对角线不相等且交于一点的四棱柱是（ ）A、直四
10、棱柱B、斜平行六面体C、长方体D、正四棱体4、一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）A、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 B、每个侧面是全等的矩形C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D、底面是正方形，有两个侧面是矩形5、棱柱成为直棱柱的一个充要条件是（ ）A、棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直 B、棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直C、棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直 D、棱柱的侧面与底面都是矩形6、给出下列命题：侧棱都相等的棱锥是正棱锥；侧面和底面所成的二面角都相等的棱锥是正棱锥；侧棱和底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥；顶点在底面的射影是底面多边形的外接圆圆心的棱锥是正棱锥、 其中正确
11、命题的个数是（ ）、A、0个B、1个 C、2个 D、3个7、若三棱锥的顶点在底面上的射影恰好是底面三角形的垂心，则这个棱锥（）、A、三条侧棱的长一定相等B、三条侧棱一定两两相互垂直C、三条侧棱分别与它相对的底棱垂直 D、三个侧面与底面所成的二面角相等 8、设正四棱锥的侧棱与底面所成的角为 ，侧面与底面所成的角为 ，则 的值是（ ）、 A、 B、 C、 D、 9、正三棱锥两个侧面所成的二面角（ ）、 A、等于 B、等于 C、小于 D、大于 10、 、 为球面上相异两点，则通过 、 两点可作球的大圆有（ ）A、一个B、无穷多个C、零个D、一个或无穷多个11、若球的大圆周长为 ，则这个球的表面积是（
12、 ）A、B、C、D、 12、已知过球面上 、 、 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 ，则球面积是（ ） A、 B、 C、 D、 二、填空题13、过棱锥高的两个三等分点作平行于底面的截面，设两个截面面积及底面面积分别为 、 、 ，（ ），则为_。14、正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，经过棱 和 的两个中点 、 作一平行于 的截面，则截面面积为_.。15、一个球夹在二面角内，两切点在球面上最短距离为，则球半径为 ；16、球直径为，为球面上的两点且，则两点的球面距离为 、17、北纬圈上两地，它们在纬度圈上的弧长是（为地球半径），则这两地间的球面距离为 、18、北纬圈上有两地，在东径，
13、在西径，设地球半径为，两地球面距离为 ；19、已知长方体的全面积是24，十二条棱长的和为24，则这个长方体的一条对角线长为_、三、解答题20、我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少？（地球半径大约为）21、平行于底面的两个平面把棱锥分成等体积的三个部分，求这两个平面把棱锥的高所分成的三个部分的比。 22、过棱长都为的正三棱柱的一边和两底中心的连线的中点作截面，求这个截面的面积。23、求棱长为的正四面体的外接球和内切球的体积24、如图，在底面是平行四边形ABCD的四棱锥P-ABCD中，MN是棱PA和BC的公垂线，求四棱锥P-ABCD的体积25、在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为
14、（为地球半径），求两点间的球面距离2.1 数列的概念与简单表示法一、选择题1（3分）下列说法正确的是（）A数列1，3，5，7可表示为1，3，5，7B数列1，0，1，2与数列2，1，0，1是相同的数列C数列的第k项为1+D数列0，2，4，6，可记为2n2（3分）已知数列n2+n，那么（）A0是数列中的一项B21是数列中的一项C702是数列中的一项D以上答案都不对3（3分）数列11，13，15，2n+1的项数是（）AnBn3Cn4Dn54（3分）若，则an与an+1的大小关系是（）Aanan+1Banan+1Can=an+1D不能确定5（3分）数列an满足an=4an1+3，且a1=0，则此数列的第5项是（）A15B255C
