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1、圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求】1 熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。2 .掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；3 灵活运用教学中的一些重要的思想方法(如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨 论思想、等价转化的思想学)解决问题。【热点透析】与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：(1 )结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；(2 )不等式(组)求解法：禾U用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的离心率(a,b,c)适合的不等式(组)，通过解不等式组得出离心率的变化范围；(3 )函数值域求解法：把
2、所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来 表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。(4 )利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的 构思；(5 )结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个 共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数B简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题；(6 )构造一个二次方程，利用判别式0。2.解题时所使用的数学思想方法。(1 )数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是 其中各种量之间的大小和
3、位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出 来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。(2 )转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、 求曲线交点问题与解方程组之间的转化, 实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。(3 )函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中 的一元二次函数知识等。(4 )分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。【题型分析】1.已知双曲线C1x22y21 (a 0,b0)的左、右焦点分别为F1bF2，抛物线C2的顶点在原点,准线与双曲线 C1的左准线重合，若双曲线C
4、1与抛物线c2的交点P满足pf2F|F2，则双曲线C1的离心率为()2 3c.解：由已知可得抛物线的准线为直线，二方程为4ax ；c由双曲线可知22p(c2) 丄)2aa4a2c，二 b2c2a2b222，二 e2 12，e 3a2x2 椭圆 2a的两个焦点分别为 F、F2，以Fj、F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e为b.3 1C. 4(23 )解析：设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，由平面几何知识可得| PF21:| PF| 卩店21 1:3 : 2，所以由椭圆的定义及e 得:a2c e 一2aIF1F2IIPF1I IPF2I3 1，故选b.变式提
5、醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率e 3 1.3.(09浙江理)过双曲线x2 ay b21(a0,b0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线uur1 UUUT的两条渐近线的交点分别为B,C若ABBC2，则双曲线的离心率是()A .2B.3C.5D.102 2【解析】对于A a,0，则直线方程为x直线与两渐近线的交点为B , C ,aba b,C(abab umr a b，BC(2a2b(2 . 2 ,a b2a2buuua2 &2代ab abuuu 因此2ABuurBC,4a2b2,e 5 答案:2x4.（ 09江西理）过椭圆_2a2【2 1(ab0）的左焦点Fi作x
6、轴的垂线交椭圆于点 P ,F2为右焦点,若 F1PF260o，则椭圆的离心率为（【解析】因为P（ c,)，再由F1PF2a60。有a2a,从而可得3，故选35.（08陕西理）双曲线2x2a2b21（a 0，b 0）的左、右焦点分别是Fi,F2，过F1作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（b.3c.23D .36.（ 08浙江理）2x若双曲线2a2y21的两个焦点到一条准线的距离之比为b22,则双曲线的离心率是(D)(A)3(B) 5(C)3(D)57. （08全国一理）在 ABC 中,AB BC，cos B.若以A，18B为焦点的椭圆经过点C，则该椭
7、圆的离心率e8. （10辽宁文）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（(A)2(B)3 b 0)不妨设B为上顶点,F为右焦点,uuu设 D(x, y) 由 BFuuur2 FD，得(c, b)= 2(x-c, y),c 2(x c)b 2yx，解得3c2b由D在椭圆上得:/3 2(2c)2a【解析1】3如图,3|OF |DD1|BF |BD|Ab2|FD|BF| b2-所以| DD13cD(,2；|OF|2za3C匕 3c) a3c3c22a又由 |BF | 2|FD |,得 a2a3c2【解析2】设椭圆方程为第一标准形式x
8、c0 2x2X232X2X2a3c 2 c； Yc2c4 a21 b24 b2c2 _ 1a2 3作DD13c,即 xd2b2 1，b 2y2y2c，二 e =ay轴于点UUD1则由BFUlT2FD , 得3c，由椭圆的第二定义得2设 D X2,y2, f 分3yc b 3 0 bBD所成的比为10.（07全国2理）设R, F2分别是双曲线A，使2y2的左、右焦点，若双曲线上存在点b2F1AF290o且 AF13 AF2则双曲线的离心率为（1022c ? e1010215C.2SAF1- AF2 = 2AF2= 2a 解 口 222 ? a?(AFJ2+(AF2)2= (2 c)2I2x11.
9、椭圆一2ab21(a0,b0）的左焦点为F,若过点F且倾斜角为45的直线与椭圆交于 A、B两点且F分向量BA的比为2/3，椭圆的离心率e为:。本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单, 运算繁琐。下面介绍两种简单解法。解法（一）：设点 A Xa, Ya ，B Xb, Yb由焦半径公式可得a exAa exB则 2(a exA) 3(a exB)，变形 2(a exA a exa exB，所以 2e(xA xB)exs因为直线倾斜角为45o，所以有2e?AB2| ab| ，所以2e 5提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比
10、转化为横坐标的关系。焦半径 是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦,应优先考虑焦半径公式。解法（二）：1BE -|BFA?|abee 51AD - AFl? ABee 5|ac|#|abAD BE|AC!?3 ab !?-|ab |abe 5 e 5212.（10辽宁理）（20）（本小题满分12分）2 x 设椭圆C :2a1（a b 0）的左焦点为f,过点f的直线与椭圆c相交于A, B两点，直线uuul的倾斜角为60o, AFuuu2FB .椭圆C的离心率解:设 A(x-!, y1), B(x2,y2)，由题意知 y1 o
11、.解得(i)联立y1直线y2x2al的方程为 y 3（x c），其中c a2 b23(x c),得(3a2 b2)y22*；3b12 y b2cy 3b43b2 (c 2 a)2 23a b3b2 (c 2a)2 23a buur 因为AFuuu2FB ,所以2y2.3b2(c 2a)3b2(c 2 a)3a2 b22? 2 23a2 b213. A是椭圆长轴的一个端点,O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P,2x解析：设椭圆方程为2ax2 ax+ y2 =0,两式联立/OPA= 2，则椭圆离心率的范围是2y2 =1( a b 0),以OA为直径的圆:b22 .2a b2ax2 ax+ b2=0.即 e2x2 ax+ b2=0,该方程有一解X2,解为 a,由韦
