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1、江苏省镇江市2015届高三上学期期末考试数学试题2015年2月 第I卷注意事项:1本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟. 2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上.1记复数为虚数单位）的共轭复数为，已知，则 .2设全集，集合，则= .3某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的
2、方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 . 开始 N Y 结束 输出 输入 4若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是 .5已知向量，则 .6执行如图流程图，若输入，则输出的值为 .7设为互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则；其中正确命题的序号为 .8设分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量，则向量的夹角为锐角的概率是_.9设等比数列的前项和为，若则 .10已知直线过点且与圆相交于两点，的面积为1，则直线的方程为 .11若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取
3、值范围是 .12若函数为定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为 .13曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为 .14已知正数满足，则的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15（本小题满分14分）已知的面积为，且.（1）求；（2）若,求.16（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，为的中点，在棱上，且.（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面；（3）若为中点，在棱上，且,求证：平面. 17（本小题满分15分）某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛附近.现派出四艘搜救船，为方便联络，船始终在
4、以小岛为圆心，100海里为半径的圆上，船构成正方形编队展开搜索，小岛在正方形编队外（如图）.设小岛到的距离为，船到小岛的距离为.（1）请分别求关于的函数关系式；并分别写出定义域；（2）当两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即最大）. 18（本小题满分15分）已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设的中点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦的斜率均存在，求面积的最大值. 19（本小题满分16分）已知函数，实数满足，设.（1）当函数的定义域为时，求的值域；（2）求函数关系式，并求函数的定义域；（3）求的取值范围.20（本小题满分16分）已
5、知数列中，在之间插入1个数，在之间插入2个数，在之间插入3个数，在之间插入个数，使得所有插入的数和原数列中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列.（1）若，求的通项公式；（2）设数列的前项和为，且满足为常数），求的通项公式.江苏省镇江市高三数学期末试题 第卷（理科附加卷）21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.(选修4-1：几何证明选讲)如图，圆与圆相交于两点，点在圆上，圆的弦切圆于点,及其延长线交圆于两点，过点作交延长线于点.若，求的长.B.(选修4-2：矩阵与变换
6、)已知矩阵，试求曲线在矩阵变换下的函数解析式.C.(选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为为参数）.（1）请分别把直线和圆的方程化为直角坐标方程；（2）求直线被圆截得的弦长.D.(选修4-5：不等式选讲)已知函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22.（本小题满分10分）已知为曲线上的动点，定点，若，求动点的轨迹方程.23.（本小题满分10分）已知四棱锥的底面为直角梯形，底面,且是的中点.（1）证明：平面平面；（2）求与所成角的余弦值；（3）求平面与平面所成二面角（锐角）的余
7、弦值. 江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案第卷一、填空题（每小题5分）题号答案试题出处知识点能力难度1模考题改编复数的运算，共轭复数运算易2教材改编集合的交集与补集运算易375教材改编分层抽样运算易4教材改编双曲线的几何性质运算易51教材改编向量的数量积运算易6教材改编算法流程图识图易7教材改编立体几何的判定和性质定理空间想象中8原创概率问题，向量的夹角运算中9448教材改编等比数列的性质，求和运算中10，教材改编直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式运算中11模考题改编正弦定理，角度范围的确定直觉，图形分析较难12e原创题函数的奇偶性，函数求导，函数单调性图象分析难131模考题改编函数求导
8、，构造函数及画新函数图像转化，运算难1425模考题改编基本不等式求最值转化难二、解答题15. 解：（1） 的面积为，且， ， 2分 ，3分 为锐角，且， 5分 6分 （2）设中角对边分别为，7分 由正弦定理得：，即 9分 ，又,则锐角，10分 ， 11分 12分= 14分【说明】本题是由模拟试题改编，考查三角形中的边角关系、向量的数量积运算，考查正弦定理，三角变换；考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达.16解：（1）因为 是正三角形，且，所以，2分 因为平面，SBCD. 5分（2）在底面中，（以下运用的定理不交代在同一平面中，扣1分）取的中点，连接， 为的中点，为的中点， 是正三
9、角形, .10分（注意：涉及到立体几何中的结论，缺少一个条件，扣1分，扣满该逻辑段得分为止）（3）当时，连，设，连为的重心,，当时,(11分) .14分【说明】本题是由模考题改编，考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定；考查空间想象能力和识图能力，规范化书写表达能力.17. 解：设的单位为百海里 （1）由，=， 2分 在中， 3分 ；（定义域1分）5分 若小岛O到的距离为， 6分 8分 ， （定义域1分） 10分 （2）；. 11分当，则时，即，取得最大值， 12分此时（百海里）. 13分答：当间距离海里时，搜救范围最大. 14分 【说明】本题是原创题，考查余弦定理，三角恒等变换，数学建模的能力
10、，选择合适的模型求最值的问题.18. 解：（1）由题意：，则，（每个1分）3分椭圆的方程为 4分（2）斜率均存在，设直线方程为：， 得，5分，故， 6分将上式中的换成，则同理可得：， 8分如，得，则直线斜率不存在， 此时直线过点，下证动直线过定点. 9分（法一）若直线斜率存在，则 ， 直线为，11分令，得，综上，直线过定点. 12分（法二）动直线最多过一个定点，由对称性可知，定点必在轴上，设与轴交点为，下证动直线过定点.当时，10分同理将上式中的换成，可得，11分则，直线过定点. 12分（3）由第（2）问可知直线过定点， 故SFMN=SFPM+SFPN 13分 ， 令，SFMN 14分 ，则在单调递减， 15分当时取得最大值，此时SFMN取得最大值，此时. 16分【说明】本题原创. 考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；考查函数最值、定点定值问题题型；考查变量代换法、函数思想、分类讨论思想、一般与特殊思想；考查运算能力、演绎论证（分析法证明）能力、直觉思维能力，猜想探究能力. 本题可以不妨设，可直接对求导，判断单调性. 19. 解：（1）若，令，
