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1、数学破题36计第31计 解几开门 轨迹遥控计名释义求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.典例示范【例1】 动椭圆过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率e=. (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）求椭圆长轴长的最大值和最小值.【思考】 如M（1，2）为右顶点，则左顶点为P（1-2a,2）.椭圆中心为(
2、1-a,2)，左准线为y轴.-a=0，而e=. =2，有-3a+1=0，a=. 得点P1(,2)；如M（1，2）为左顶点，有P2（1，2），P1P2中点为（，2）.由以上可以预见,所求轨迹是中心为O(,2)的椭圆.【解答】 （1）设椭圆左顶点为M(x,y)，则左焦点为F（x0，y0）=F(x+a-c，y)，e=，且左准线为y轴, =0,得a=x，c=，有：F，由椭圆第二定义：= e=. ，化简得： (2)椭圆的长半轴a=，-x-，得x.原椭圆长半轴为a=x，2a=2x.故原椭圆长轴最大值为2，最小值为.【例2】 已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，其中F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A（-
3、1，2），B（3，2）在双曲线上，（1）求点F2的轨迹方程；（2）是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，不存在，说明理由.【思考】 F1（1，0）为定点，|AF1|=2=|BF1|为定值，设F2(x，y)，则|F2A|-2=(F2B-2).得|F2A|=|F2B|或|F2A|+|F2B|= 4，知动点F2的轨迹为直线AB的垂直平分线或以A、B为焦点的椭圆.【解答】 （1）点F2的轨迹方程为直线l：x=1或椭圆.(不含短轴两端，即不含（1，0），（1，4）解法略).（2）如图，当椭圆与直线y=x+m相切时，直线与所求轨迹恰有两交点（-为切点，另-为切线与
4、直线x=1的交点），其他情况下，若直线y=x+m过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由3x2+(4m-10)x+2m2-8m+1=0.此方程应有相等二实根，=(4m-10)2-12(2m2-8m+1)=0.化简得：m2-2m-11=0,m=12.【小结】 探求轨迹，一要注意其完备性也就是充分性：只要符合条件的点都适合轨迹方程；二要注意其纯粹性也就是必要性：只要适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图以例2为例：若忽视了直线x=1(不含（1，0），（4，0）)则不完备，若不除去（1，0），（4，0）则又不纯粹.对应训练1.已知双曲线过坐标原
5、点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6,0），另一个焦点F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程;(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.2.已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，OQP为正三角形（按逆时针方向转），求点P的轨迹方程.3.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6，0），另一个焦点F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程；（2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程.4.已知抛物线C：y2=4x，(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B与焦点F所连线段的中点P的轨迹方程；（2）若M（m,0）是x轴上的一
6、个定点，Q是（1）中所求轨迹上任意一点，求|MQ|的最小值.参考答案1.设F2(x0，y0), O(0,0)在双曲线上,|OF2| - |OF1| =2，|OF1|=6,|OF2|=62，如|OF2|=8，则x20+y20=64 如|OF2|=4，则x20+y20=16 当O、F1、F2共线时，F1、F2应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）设双曲线中心为M（x，y）,则 代入：(2x-6)2+(2y)2=64， 即(x-3)2+y2=16(x7)代入：（2x-62+(2y)2=16， 即(x-3)2+y2=4(x5)(2)a=1，e= c，且c=|MF1|=,如M的轨迹为
7、(x-3)2+y2=16， 则c=-4x-34，-1x7当x=-1时，cmax=7.如M的轨迹为(x-3)2+y2=4，则-2x-32，1x5，当x=1时，cmax=5,于是取c=7，a=1，b2=48，又当x=-1时，由（x-3）2+y2=16，得y=0,即双曲线中心为(-1,0),一个焦点为F1(6,0),故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)2-=1.2.如图作OAl于A，以直线OA为x轴，过O且垂直于OA的直线为y轴建立如图的直角坐标系，设A（a,0），则有直线l：x=a，设|OQ|=|OP|=dAOQ=，则AOP=+设P(x,y)，d=，x= d cos (+)=(cos-sin)
8、 第2题解图=(1-tan),y=dsin(+)=(sin+cos)= (tan+).于是得点P的参数方程：（为参数） 消去参数得：x+y=2a.3.(1)设F2(x0，y0)，O (0,0)在双曲线上，|OF2| - |OF1|=2，|OF1|=6，|OF2|=62，如|OF2|=8，则x20+y20=64 ；如|OF2|=4，则x20+y20=16 ，当O，F1，F2共线时，F1，F2应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）.设双曲线中心为O(x，y)，则 代入：(2x-6)2+(2y)2=64, 即 (x-3)2+y2=16 (x7).代入：(2x-6)2+(2y)2=16, 即 (x-3)2+y2=4 (x5).(2)a=1，e= c，且c=|MF1|=,如M的轨迹为（x-3）2+y2=16,则c=.-4x-34, -1x7,当x= -1时，cmax =7.如M的轨迹为(x-3)2+y2=4，则c=.-2x-32，1x1时，以M（m,0）为圆心，R为半径的圆的方程为：(x-m)2+y2=R2.(*)由x2+(1-2m)x+m2-1-R2=0.命0，即（1-2m）2-4(m2-1-R2)=0, R2. (1)当m时，R min=， 即|MQ|的最小值为.当1m1，即m时，|MQ| min=.笔者以为不妥，故重解如上，不当之处，请各位同仁指正.
