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1、 立体图形之长方体与正方体 一、一种长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有个面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形！ 二、通过折叠可以组合成正方体: 三、通过折叠可以组合成长方体：练习:下列三个图形中，能拼成正方体的是( ) 四、长方体或正方体的切割组合对棱长的影响 1.切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比本来一种长方体时增长4条长和条宽；(棱长增长的最长)将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比本来一种长方体时增长4条宽和4条高;（棱长增长的最短）将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比本来增长4条棱。 2.组合 将两个完全相似的长方体沿上下面组合后,棱长比
2、本来两个长方体时减少4条长和4条宽；(棱长减少的最多) 将两个完全相似的长方体沿前背面组合后，棱长比本来两个长方体时减少4条长和条高; 将两个完全相似的长方体沿左右面组合后,棱长比本来两个长方体时减少条宽和条高；(棱长减少的至少） 将两个完全相似的正方体沿上下面组合后,棱长比本来两个正方体时减少8条棱; 依次类推将三个完全相似的正方体沿上下面组合后，棱长比本来三个正方体时减少16条棱,四个组合减少4条棱，五个组合减少32条（公式：8(1) 例如：将五个完全相似的正方体组合成一种长方体后,棱长和为140厘米,本来每个正方体的棱长和是多少？ 分析：五个正方体棱长共有12560条; 将五个完全相似正
3、方体组合后棱长比本来减少32条,还剩60-32=28条; 即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，因此正方体一条棱的长度为:4028=5cm; 因此一种正方体的棱长和为：52=cm。 五、小正方体拼大正方体的规律由于正方体，每条棱的长度相等,因此要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应当是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要22=23=个（也就是说每条棱上放2个小正方体），接着再往大了拼正方体,就是每条棱上放3个小正方体即333=33=7个，依次类推接下来是444=43个；553=12个 从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应当是一种数的立方。
4、这就规定我们可以熟记某些数的立方:=8 3=2 43=64 53=125 3=16 73343 83=51 9=72 03100 小正方体拼大长方体的规律规律同正方体，一方面观测大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍,如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由个小正方体构成的。练习：（)用棱长为厘米的小正方体拼棱长为9厘米的大正方体需要（ ）个小正方体。 、8个 B、27个 C、6个 D、64个(2）一种长方体的长宽高分别是1、1、，如果用棱长为3的小正方拼一种这样的长方体,一共需要( )块这样的小正方体。(3)一种长方体的盒子里面长5
5、分米,宽4分米，深3分米,放棱长为厘米的正方体小木块共可以放（ )块。 长方体与正方体的表面积六、长方体表面求法的变形: 贴商标类型：只求四周面积。例如：一种长方体包装盒，长宽高分别为8，,5,需要在包装盒四周贴上商标,需要商标纸的面积是多少? 游泳池类型：只求四周和底面。例如:一座游泳池，长宽高分别为10m,4m，1.5m,需要在池内贴上边长为dm的瓷砖,大概需要多少块瓷砖? 抽纸盒类型:六个面面积减去缺口面积。 例如:一款抽纸盒，长宽高分别是0cm，12c，cm，上面有长14cm,宽3c的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？ 占地面积问题:只求底面面积。例如：一种长方体蓄水池，长12m，宽
6、8m，深3m,这个水池占地面积多少平方米？ 1.一块长方形铁皮长60厘米,宽40厘米,如 图，从四个角上剪去边长是0厘米的正方形，然后做成盒子,这个盒子的表面积是多少平方厘米? 2.一种无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（ ）个面。 七、棱长变化对表面积的影响 1.正方体。 正方体的棱长扩大倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍,体积扩大8倍； 正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍,表面积扩大9倍，体积扩大2倍; 正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大2倍,体积扩大n3倍。 长方体。 长方体的长宽高同步扩大倍,其棱长和也扩大倍,表面积扩大4倍,体积扩大倍; 长方体的长宽高同
7、步扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大2倍； 长方体的长宽高同步扩大n倍，其棱长和也扩大n倍,表面积扩大n2倍，体积扩大3倍。 长方体的长扩大a倍,宽扩大b倍,高扩大c倍，棱长和变化无规律,表面积变化也无规律,体积扩大abc倍。 长方体的长扩大a倍,宽扩大b倍,棱长和变化无规律，表面积变化无规律,体积扩大a倍 。 长方体的宽扩大b倍,高扩大c倍，棱长和变化无规律,表面积变化无规律，体积扩大bc倍。 长方体的长扩大倍，高扩大倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律,体积扩大ac倍。练习：（1)大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍,那么大正方体的表面积是小正方体表面积的( )倍。（
8、2）正方体的棱长缩小倍,它的体积就缩小（ )倍（）一种长方体的长、宽、高都扩大倍,它的表面积就( ）。(4)正方体的棱长扩大倍,表面积扩大（ )倍。(5)一种正方体的棱长为4厘米,扩大为2倍后,其棱长和为（ ）厘米，表面积为（ ）平方厘米，比本来扩大了（ )。(6）一种长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大( )倍。（7)大正方体的表面积是小正方体的倍,那么大正方体的棱长是小正方体的( )；大正方体棱长之和是小正方体的( ) A.2倍 B4倍 C.6倍 D.8倍（8）把一种正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（)。A.等于大正方体的表面积 .等于大正方体表面积的2倍 C.
9、等于大正方体表面积的3倍(9)判断: 一种长方体的长扩大2倍，宽扩大倍,高扩大倍,这个长方体的表面积扩大2倍。（ ) 正方体的棱长扩大.2倍，它的棱长和也扩大1.2倍,它的表面积就扩大14.倍。（ ) 有棱长为1厘米的正方体拼成较大的正方体,其表面积比本来一种正方体时扩大了倍。（ ） 棱长为16厘米的正方体,将棱长缩小2倍后，其棱长为厘米,其表面积也缩小了4倍。（ ） 八、立体图形的切割：(切割会使表面积增长,因此存在表面积增长最多或至少的问题) 长方体沿与本来长方体最大面平行的方向切割,其表面积比本来增长的最多。沿与本来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比本来增长的至少。并且每切一刀增长两
10、个完全相似的面，切两刀增长四个完全相似的面,依次类推。 正方体无论沿那个面平行的方向切,都将增长两个正方形的面,增长的面积均为2a2不存在增长最多至少的问题。例如：两盒磁带有三种不同的包装方式,你说哪一种最省包装纸？ 规定最省包装纸,即表面积最小,也就是表面积比本来单独包装时减少的表面积最多，根据规律应当选择第一种包装方式。练习：(1)把一种棱长为6米的正方体提成两个大小、形状相似的长方体,每个长方体的表面积是( ）。(2)用两个长厘米、宽4厘米、高1厘米的长方体拼成一种大长方体,这个长方体的表面积最大是()平方厘米,最小是（ )平方厘米。(3)把一根长80厘米,宽5厘米，高3厘米的长方体木料
11、锯成长都是4厘米的两段,表面积比本来增长了（ )平方厘米。 （4）用两个长、宽、高分别是3厘米，厘米，1厘米的长方体拼成一种大长方体，这个大长方体的表面积最小是（ )平方厘米。(5)棱长是的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少( ）。(6)一根长方体木料,长1.5米,宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积至少增长(）平方分米(7)一种长5厘米，宽4厘米,高3厘米的长方体，截成两个形状，大小完全同样的长方体,表面积最多能增长多少平方厘米？（8） 把一根长2米的方木(底面是正方形)锯成三段，表面积增长576平方分米,本来这根方木的底面积是多少平方分米?（9） 一根.8m长的木
12、材,锯成三个完全相似的正方体后,表面积比本来增长多少平方厘米？（10） 一种长方体长为1.5分米，宽为.分米，高位1分米,锯三刀之后可以锯成6个完全相似的正方体，每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比本来增长多少？ 长方体与正方体的表面积和体积 九、从一种长方体中切出一种最大的正方体问题应当以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体,否则切出的将不是正方体。例如:在一种长是厘米,宽为厘米,高为2厘米的长方体中切出一种最大的正方体，该正方体的棱长和是多少？剩余部分的表面积是多少？ 十、立体图形的组合（组合只会使表面积减少,因此存在减少最多或至少的问题) 长方体
13、将本来长方体的最大面组合在一起,其表面积比本来减少的最多。将本来长方体的最小面组合在一起，其表面积比本来减少的至少。并且两个组合将减少两个完全相似的面,三个组合减少四个完全相似的面，依次类推。 正方体无论沿那个面组合,都将减少两个正方形的面,减少的面积均为2a2不存在增长最多至少的问题。练习:(3)用27个体积是1立方厘米的小正方体粘合成一种大正方体,粘合后的大正方体的表面积是（ )(4）把三个完全相等的正方体拼成一种长方体,这个长方体的表面积是350平方米。这个正方体的表面积是多少平方米？（）一种长方体的长8厘米，宽厘米，高5.厘米。将两个这样的长方体拼成一种大长方体,表面积最大是多少?体积是多少？(8)有三个大小相等的正方体,将她们拼成长方体，表面积减少32平方厘米。求所拼长方体的表面积。(10）用两个长6厘米，宽3厘米,高厘米的长方体一起包装,至少需要包装纸多少?（12）用两个同样的长、宽、高分别为4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一种表面积最大的长方体,这个大长方体的表面积是多少平方厘米？ 十一、小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题大正方体长、宽、高上有几种
