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1、平面与圆锥面的截线一、教学目标：1. 知识与内容：（1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2（2）利用Dandelin双球证明定理2中情况（1）（3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解2. 过程与方法：利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明。3. 情感态度价值观：通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。二、教学重点难点重点：（1）定理2的证明 （2）椭圆准线和离心率的探究难点：椭圆准
2、线和离心率的探究三、教学过程椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种。生成椭圆的方法有许多，例如：（1）圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1；（2）椭圆的定义（3）平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0e1)的点的轨迹（4）一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；xyPD O（5）圆柱形物体的斜截口是椭圆，如图2图1如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线。 思考：如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？归纳提升： 定理 在空间中，取直线为轴，直线与相交于O点，其
3、夹角为，围绕旋转得到以O为顶点，为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴交角为（与平行，记住0），则： （1），平面与圆锥的交线为椭圆；（2），平面与圆锥的交线为抛物线；（3），平面与圆锥的交线为双曲线。问题：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：，平面与圆锥的交线为椭圆.讨论：点A到点F的距离与点A到直线m的距离比小于1）.证明1：利用椭圆第一定义，证明 FA+AE=BA+AC=定值，详见课本.证明2：上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为/；如果平面与平面/的交线为
4、m，在图中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是（小于1）.（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数为离心率e.）点评：利用可以证明截线为抛物线，双曲线的情况，以离心率的范围为准. 拓展：1. 请证明定理2中的结论（2） 2. 探究双曲线的准线和离心率 3. 探索定理中（3）的证明，体会当无限接近时平面的极限结果四、自我检测练习1.平面截球面和圆柱面所产生的截线形状是 .分析：联想立体几何及上节所学，可得结论，要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况.答案：平面截球面所得的截线为圆；平面截圆柱面所得的截线为圆或椭圆；2.判断椭
5、圆、双曲线、抛物线内一点到焦点距离与到准线距离之比与1的关系？分析：首先通过画图寻找规律，然后加以证明.答案：略.五、课外研究材料材料1. 阅读，和你的同学一起探讨文后的问题：运动的天体受向心力和离心力的作用，天体运行的速度不同，它所获得的合力也不同，这样就导致形成不同的运行轨道，如人造卫星发射的速度等于或大于7.9km/s（第一宇宙速度即环绕速度）时，它就在空中沿圆或椭圆轨道运行；当发射的速度等于或大于11.2 km/s（第二宇宙速度即脱离速度）时，物体可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其它行星上去；当速度等于或大于16.7 km/s（第三宇宙速度即逃逸速度）时，物体将挣
6、脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去。例如：人造卫星、行星、慧星等由于运动的速度的不同，它们的轨道是圆、椭圆、抛物线或双曲线。（1）从天体运行的轨迹看，圆锥曲线也存在着统一，难道在冥冥宇宙中，有什么神奇的力量，使天体运行也遵循着一种统一的规律吗？（2）邀请你们的物理老师、地理老师，请他们上一节天体运行课，更深入的理解圆锥曲线材料2. 圆锥截线，是一个平面截正圆锥面而得到的曲线设圆锥轴截面母线与轴的夹角为，截面和圆锥的轴的夹角为当截面不过顶点时，（1）当时，即截面和一条母线平行时，交线是抛物线；（2）当时，即截面不和母线平行，且只和圆锥面的一叶相交时，交线是椭圆特别地，当，即截面和圆锥面
7、的轴垂直时，交线是圆（3）当0时，即截面不与母线平行，且和圆锥面的两叶都相交时，交线是双曲线当截面过顶点时，（1）当时，截面和圆锥面相切，交线退化为两条重合直线（2）当时，截面和圆锥面只相交于顶点，交线退化为一个点（3）当0时，截面和圆锥面相交于两条母线，交线退化为两条相交直线前一类情况中，抛物线、椭圆（包含圆）和双曲线这三种曲线叫做非退化的圆锥曲线有时，也把抛物线、椭圆和双曲线统称为圆锥曲线后一类情况，交线是一个点或两条直线（包括相交与重合），把它们叫做退化的圆锥曲线由于椭圆（包含圆）和双曲线都具有对称中心，所以椭圆（包含圆）和双曲线是有心圆锥曲线而抛物线不具有对称中心，抛物线是无心圆锥曲线在直角坐标系中，圆锥曲线的方程都是二元二次方程，因此，圆锥曲线又叫二次曲线
