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1、专题02 圆锥曲线中的面积问题一、单选题1直线经过抛物线的焦点F且与抛物线交于A、B两点，过A、B两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则的面积的最小值是（ ）AB4CD6【答案】B【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，设直线：，与抛物线方程联立求出两点纵坐标之差的绝对值的最小值，再利用三角形面积公式可求得面积的最小值.【详解】由抛物线可知，所以，准线为，依题意设直线：，代入得，设，则，所以，当且仅当时，等号成立.所以.故选：B【点睛】关键点点睛：利用两点的纵坐标之差的绝对值表示是本题解题关键.2已知，为椭圆的两个焦点 ，是椭圆上任意一点，若，则的面积为（ ）ABCD【答案】B【分析】利
2、用椭圆焦点三角形面积公式，即可求解.【详解】由题意知：，为椭圆的两个焦点 ，是椭圆上任意一点，所以是焦点三角形，且，所以，故选：B3已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（ ）ABCD【答案】C【分析】先根据双曲线方程得到，设，可得，. 由，在根据余弦定理可得:，即可求得答案.【详解】，所以，在双曲线上，设，由，在根据余弦定理可得:故由可得，直角的面积故选：C.【点睛】思路点睛：在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用.4已知椭圆两焦点，P为椭圆上一点，
3、若，则的的内切圆半径为（ ）ABCD【答案】B【分析】由余弦定理得，得到，可求得面积，再由可得答案.【详解】，由题意得，由余弦定理得，得，设内切圆的半径为，则，所以.故选：B.【点睛】椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点.5过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，线段的中点在直线上，为坐标原点，则的面积为（ ）ABCD9【答案】B【分析】首先设，利用点差法得到，从而得到直线.联立直线与抛物线，利用根系关系得到，再求的面积即可.【详解】由抛物线，得，设，由题知：
4、，即.由题意知：，所以，故直线.联立得：.所以，.故.所以.则的面积为.故选：B.【点睛】方法点睛：利用点差法求焦点三角形的面积问题.点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差.求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.利用点差法可以减少很多的计算,所以在解有关的问题时用这种方法比较好.二、多选题6在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，若点满足 (为坐标原点)，下列说法正确的有（ ）A双曲线的虚轴长为B双曲线的离心率为C双曲线的一条渐近线
5、方程为D三角形的面积为【答案】BD【分析】根据题中条件，得到双曲线的半焦距为，由双曲线方程可得，其渐近线方程为，设，则，根据，以及点在圆上，求出的坐标，得出，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.【详解】因为双曲线的焦点在圆上，所以双曲线的半焦距为，由可得其渐近线方程为，因为圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，不妨设，则，又，所以，即，整理得，又点在圆上，所以，由解得，即，又点在渐近线上，所以，由解得，因此双曲线的方程为；所以其虚轴长为，故A错；离心率为，故B正确；其渐近线方程为，故C错；三角形的面积为，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于通过题中条件，
6、求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及，求出交点坐标，得出之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.7已知曲线C的方程为，点P是C上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N，则的面积可能为（ ）A73B76C68D72【答案】ABD【分析】设，求出，求出的坐标和的最小值，得到的面积的最小值，即得解.【详解】设，则设，则，直线的方程为，则点M的坐标为，直线的方程为，则点N的坐标为所以，当且仅当，即时等号成立从而面积的最小值为.故选：ABD【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系
7、列不等式，再解不等式.（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性、直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式. （5）利用数形结合分析解答.8双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A双曲线C的离心率为；B若，则的面积为；C的最小值为2；D双曲线与C的渐近线相同.【答案】ABD【分析】由题知，双曲线方程，再利用双曲线离心
8、率，双曲线渐近线方程，点到直线的距离可以分别判断选项.【详解】选项A，因为，所以，则离心率为，故A正确；选项B，若，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在上，即，点到渐近线的距离为，则，所以的面积为，故B正确；选项C，的最小值就是点F到渐近线的距离，故C错误；选项D，它们的渐近线都是，渐近线相同，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是要熟记渐近线方程和离心率公式，考查学生的分析问题能力和运算求解能力，属于中档题.9已知、是双曲线的上、下焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则下列说法正确的有（ ）A双曲线的渐近线方程为B
9、以为直径的圆方程为C点的横坐标为D的而积为【答案】AD【分析】由双曲线的标准方程可求得渐近线方程，可判断A选项的正误；求得的值，可求得以为直径的圆的方程，可判断B选项的正误；将圆的方程与双曲线的渐近线方程联立，求得点的坐标，可判断C选项的正误；利用三角形的面积公式可判断D选项的正误.【详解】由双曲线方程知,，焦点在轴，渐近线方程为，A正确；，以为直径的圆的方程是，B错误；由得或，由得或.所以，点横坐标是，C错误；，D正确故选：AD【点睛】双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为（即），应注意其区别与联系.三、解答题10已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上.（1）求圆
10、的方程；（2）过点分别作直线、，交圆于、四点，且，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）设出经过圆和直线的圆系方程，利用圆心在直线上可求得结果；（2）当直线的斜率不存在时，可求出四边形的面积为，当直线的斜率存在时，设直线，则直线，利用几何方法求出和，求出四边形面积，再换元求出最值可得取值范围.【详解】（1）依题意可设圆的方程为，整理得，所以圆心，因为圆心在直线上，所以，解得，所以圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，四边形面积为，当直线的斜率存在时，设直线，即，则直线，圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，所以，所以四边形面积为，令，则，所以，当，即时，取得最大值，此时四边
11、形的面积的最大值为，当，即时，取得最小值，此时四边形面积的最小值为，综上所述：四边形面积的取值范围为【点睛】结论点睛：经过直线与圆的交点的圆系方程为.11已知椭圆的一个焦点为，左、右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于，两点（1）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（2）记与的面积分别为和，求的最大值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）同椭圆方程为，直线方程为，联立，得，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式能求出的长（2）当直线无斜率时，直线方程为，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，得，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出的最大值【详解】解：（1）因为为椭圆的焦点，所以
12、，又，所以，所以椭圆方程为，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，所以直线方程为，和椭圆方程联立得到，消掉，得到，所以，所以线段的长（2）当直线无斜率时，直线方程为，此时，面积相等，当直线斜率存在（由题意知时，设直线方程为，设，和椭圆方程联立得到，消掉得，方程有根，且，此时时等号成立）所以的最大值为【点睛】求解时注意根的判别式，韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用12已知直线与抛物线交于A、B两点，P是抛物线C上异于A、B的一点，若重心的纵坐标为，且直线、的倾斜角互补（）求k的值（）求面积的取值范围【答案】（）2；（）.【分析】（）设，利用斜率公式得到直线、的斜率，根据直线、的倾斜角互补得
13、到，根据三角形的重心的坐标公式可得，从而可得；（）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可.【详解】（）设，则，同理可得，因为直线、的倾斜角互补，所以，即，又重心的纵坐标为，根据三角形的重心的坐标公式可得，所以，所以（）由（）知直线，与抛物线方程联立，并整理得，其判别式，所以而，因此，又由（）知，所以，所以，到直线的距离为，所以令，则恒成立，故在上单调递减，所以，故.【点睛】结论点睛：本题中用到的结论：三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为，则三角形的重心的坐标为，弦长公式：，本题考查了运算求解能力
14、，逻辑推理能力，属于中档题.13已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上（异于椭圆左、右顶点），过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.（1）求证：；（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率的平方.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式列方程，求得点的坐标，求得点的坐标，通过计算得到，由此证得.（2）求得，由此求得三角形面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形面积的最小值，进而得出直线的斜率的平方.【详解】（1）证明：由题意得，点的坐标为，设.由，得，.即点坐标为.当时，可求得点的坐标为，.故.（2）解：点在轴上方，由（1）知；当时，由（1）知，函数单调递增.当，由（1）知，令则由当时，此函数单调递增；当时，此函数单调递减.函数即的最小值，此时，解得.综上，当的面
