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1、数 学 月 考 练 习学号 姓名 一、选择填空题1. 设点P是曲线yx3x上的任意一点，在P点处切线倾斜角为，则角的取值范围是_. 2. 已知函数f(x)lnx2x2ax1是单调递增函数，则实数a的取值范围是_3. 已知a、b为正实数，函数f(x)ax3bx2x在0，1上的最大值为4，则f(x)在1，0上的最小值为_4如图，由曲线yx2和直线yt2(0tb0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1 C.1 D.16已知直线yk(xm)与抛物线y22px(p0)交于A、B两点，且OAOB，ODAB于D.若动点D的坐标满足
2、方程x2y24x0，则m()A1 B2 C3 D4二、解答题1设椭圆C：1(ab0)的一个顶点与抛物线：x24 y的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由2. 已知函数f(x)(a1)lnxax21.(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 设ab0)的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为1，且PF1F2的最大面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点M的坐标为(，0)，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，
3、B两点对于任意的kR，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由4函数f(x)ln(x1)(a1)(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a11，an1ln(an1)，证明：an.参考答案：1解析：y3x2， tan，由0且，结合正切函数图象可得的取值范围为.2解析：x(0，)，f(x)4xa0恒成立，由基本不等式4xa4a，当且仅当x时取等号， a40， a4.3解析：由a、b为正实数，可得函数yax3bx的导函数y3ax2b0恒成立，所以yax3bx是R上的增函数，从而f(x)ax3bx2x是R上的增函数所以当x0，1时，f(x)maxf(1)ab24，即ab2.当x1，0时，f(x)m
4、inf(1)ab2.4解析：S(t)(t2x2)dx(x2t2)dxt3t2，S(t)2t(2t1)0，得t为最小值点，此时S(t)min.5解析设A点坐标的(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，两式相减得， ，即，x1x22，y1y22，k，又k又c2a2b22b2b2b2，c29，b29，a218，即标准方程为1，故选D.6解析：设点D(a，b)，则由ODAB于D，得则b，abk；又动点D的坐标满足方程x2y24x0，即a2b24a0，将abk代入上式，得b2k2b24bk0，即bk2b4k0，4k0，又k0，则(1k2)(4m)0，因此m4，故选D.1、解(1)椭圆的顶点为(0，)，
5、即b.e ，解得a，椭圆的标准方程为1.(2)由题可知，直线l与椭圆必相交当直线斜率不存在时，经检验不合题意设存在直线l为yk(x1)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(23k2)x26k2x3k260.x1x2，x1x2，x1x2y1y2x1x2k2x1x2(x1x2)1k21.所以k，故直线l的方程为y(x1)或y(x1)2解：(1) f(x)的定义域为(0，)f(x)2ax.当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调增；当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调减；当1a0时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0；x(，)时，f(x)0.故f(x)在上单调增，
6、在上单调减(2) 不妨假设x1x2，而a1，由(1)知f(x)在(0，)上单调减，从而|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等价于f(x2)4x2f(x1)4x1，令g(x)f(x)4x，则g(x)2ax4， 等价于g(x)在(0，)上单调减，即2ax40，从而a2，故a的取值范围为(，2. 3解析：(1)由题意可知：ac1，2cb1，因为a2b2c2，所以a22，b21，c21，所以所求椭圆的方程为y21.(2)设直线l的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(，0)，联立，消去y，得(12k2)x24k2x2k220，则.因为(x1，y1)，(x2，y2)，(x1)(x
7、2)y1y2(x1x2)x1x2y1y2(x1x2)x1x2k2(x11)(x21)(k2)(x1x2)(1k2)x1x2k2.对任意xR，有为定值4解：(1)易知f(x)的定义域为(1，)，f(x).(i)当1a0，所以f(x)在(1，a22a)是增函数；若x(a22a，0)，则f(x)0，所以f(x)在(0，)是增函数(ii)当a2时，若f(x)0，f(x)0成立当且仅当x0，所以f(x)在(1，)是增函数. (iii)当a2时，若x(1，0)，则f(x)0，所以f(x)在(1，0)是增函数；若x(0，a22a)，则f(x)0，所以f(x)在(a22a，)是增函数(2)由(1)知，当a2时，f(x)在(1，)是增函数当x(0，)时，f(x)f(0)0，即ln(x1)(x0)又由(1)知，当a3时，f(x)在0，3)是减函数当x(0，3)时，f(x)f(0)0，即ln(x1)(0x3)下面用数学归纳法证明an.(i)当n1时，由已知a11，故结论成立(ii)假设当nk时结论成立，即ln，ak1ln(ak1)ln，即当nk1时，有 ak1，结论成立根据(i)(ii)知对任何nN*结论都成立
