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1、带状态观测器的控制系统综合设计与仿真一、主要技术参数：1. 受控系统如图所示图 1 受控系统方框图2. 性能指标要求：（1）动态性能指标：超调量b 5% ；p超调时间 t 0.5秒 ；p系统频宽O 10 ；b（2）稳态性能指标：静态位置误差e二0 （阶跃信号）p静态速度误差e 0.2 （速度信号）v二、设计思路1、按图中选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型。2、对原系统在 Simulink 下进行仿真分析，对所得的性能指标与要求的性 能指标进行比较。3、根据要求的性能指标确定系统综合的一组期望极点。4、假定系统状态均不可测，通过设计系统的全维状态观测器进行系统状 态重构。5、通过状态反馈法
2、对系统进行极点配置，使系统满足要求的动态性能指标。6、合理增加比例增益，使系统满足要求的稳态性能指标。7、在 Simulink 下对综合后的系统进行仿真分析，验证是否达到要求的性 能指标的要求。三、实验设计步骤I 、按照极点配置法确定系统综合的方案1、按图1 中选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型 列写每一个环节的传递函数由图 1 有：x (s) =12S+T0 叉乘拉式反变换得一阶微分方程组 由上方程可得(s + 5)x (s) = U (s) (s +10) x (s) = x (s)sx (s) = x (s)32sx (s) = -5 x (s) + U (s)1 i sx (s)
3、 = x (s) 一 10 x (s)2 1 2sx (s) = x (s)32拉式反变换为x 5 x + U1 i x x 10 x2 1 2x x32输出由图1 可知为yx3 用向量矩阵形式表示x11x+02x001010003510y o 0 lx2、对原系统在 Simulink 下进行仿真分析，对所得的性能指标与要求的性能指标进行比较原受控系统仿真图如下：图 2 原受控系统仿真图原受控系统的阶跃响应如下图0.D90.D7o.oa0.D3250.5233.54.55Time onset:ms -0.D6 -U.J4 -0.D2 一D.01 -图 3 原受控系统的阶跃响应曲线 很显然，原系
4、统是不稳定的。3、根据要求的性能指标确定系统综合的一组期望极点由于原系统为三阶系统,系统有3个极点，选其中一对为主导极点S和s2 , 另一个为远极点，并且认为系统的性能主要是由主导极点决定的，远极点 对系统的影响很小。根据二阶系统的关系式，先定出主导极点。兀乙_Tco =(J1 2g 2 + 2 4g 2 + 4g 4) 式中，g和o为此二阶系统的阻尼比和自振频率。n可以导出：由 b p =e可得二尹、2.996，从而有g 0.69,卫弋2g 二丄=0.707。 湮 。由tp - 0.5S得兀 0.5/2叫-0.5 x 0.707 Q 9由 b 10和已选的g b沧得 n 10,与的结果比较。
5、这出了主导极点s =go + j J1-g21,2nn 胃远极点应选择使它和原点的距离远大于5lsJ的点，现取I=10 s于是选，便定，因此确定的希望极点为s = 7.07 + j 7.071s = 7.07 j 7.072s =10034、确定状态反馈矩阵K由步骤 1 所得状态空间方程知，受控系统的特征多项式为s + 500f (s) = det(sI - A) = 一1s +10 00-1s=s (s + 5)(s +10)=s 3 + 15s 2 + 50 sa = 15,a = 50,a = 0123而由希望的极点构成的特征多项式为f (s*) = (s + 7.07 + j 7.07
6、)( s + 7.07 j 7.07)( s +100)=s 3 + 114.1s 2 + 1514s + 9997a * = 114.1, a * = 1514, a * = 9997123A于是状态反馈矩阵 K 为= I a * aa * aa * a332211= 9997 1464 99.15、确定放大系数 L由 4 知，对应的闭环传递函数为W (s) =LKs 3 + 114.1s 2 + 1514s + 9997所以由要求的跟踪阶跃信号的误差:=0，有=0 = lim 1 - y (t) = lim ss tO1 W (s)_ K s s=lim 11 W (s) = lims3
7、+1】21 竺419997L s t0ks t0 s 3 + 114.1s 2 +1514 s + 9997=9997 - L=9997所以L = 9997对上面的初步结果，再用对跟踪速度信号的误差要求来验证，即1 W ( s)一 _Ks 2s 2e = limt- y(t)= limsV t T8=lim111 - W (s)s t 0 sK= 1s3 +114.1s2 +1514ss s3 + 114.1s2 +1514s + 9997st0s3 +114.1s2 +1514s=limst0 s3 + 114.1s2 +1514s + 99971514= 0.151 0.29997显然满足
8、e 02的要求，故L = 9997。v对此系统进行仿真图 4 受控系统的闭环系统仿真图仿真结果如下：upnudulYTime图 5 闭环系统的阶跃响应曲线 局部放大图：00.7O.&5te ResponseSystem: sysTrne (bbc): H.4&2 Am|J itude: 1.040.50.6Time (sec)图 6 闭环系统阶跃响应曲线局部放大图由仿真图得：& = 4% 5% , t = 0.452s 0.5s，均满足要求。 pp6、画出对应的能控规范性的闭环系统方块图已知W (s)=ls 3 + a* s 2 + a* s + a *123=9997s 3 + 114.1s
9、 2 +1514 s + 9997= 10000_ s3 + (15+99.1)s + (50 +1464) + 9997其中，可设WK(s) =1s 3 + (15+99.1)s + (50 +1464) + 9997对应的规范型状态方程为0100-9997 (50 +1464)x01x+02x101-(15+99.1)3u再考虑输入放大系数L = 9997，最后得能控规范型的闭环系统方框图如下:图7 能控规范型的闭环系统方框图上述导出的闭环系统方框图是对应能控规范型得到的7、确定非奇异变换矩阵P将原受控系统的传递函数方框图表示成下图的形式.图 8 受控系统的方框图按上图选择状态变量，列状态
10、空间方程5=1001010xi10x2+00x03y = o 0 lx即为x = Ax + buy = cxA2b根据系统的能控性判据判断系统的能控性Q = b AbQ = ncrankc251511 5Q = 01c0 0rank q=c由上式知，原系统是完全能控的。若做变换X二PX，那么就可建立起给定的（A,B,C）和能控规范型（A,B,）之 间的关系式 A 二 PAP i, B = P-1B, C = CP。s + 500det(sI 一 A)二1 s +10 0 01s二 s(s + 5)(s +10)二 s 3 + 15s 2 + 50sa = 15,a = 50,a = 01231
11、 0P = A2b Ab b a 1 L1a a21一 255_ 100_15101510100501510101= 0101001.p1 = P*0 01= 01011008、确定相应于图9的受控系统的状态反馈矩阵K状态反馈矩阵为K 二 K P-100二【9997146499.1 0101-100= 99.1472.69997极点配置的 Matlab 程序如下：A=-5 0 0;1 -10 0;0 1 0;b=1;0;0;c=0 0 1;pc=+,运行结果为：K =+003 *9、画出对应于图8 形式的受控系统的闭环方框图受控系统的闭环方框图如图9 示。图 9 相应于图 8 受控系统的闭环方
12、框图仿真图形为：图 10 受控系统的闭环仿真图图 11 闭环系统的阶跃响应曲线由图可显然看出：t 0.5 spb 0.5%p即满足性能指标要求。II观测器的设计假定系统状态均不可测，通过设计系统的全维状态观测器进行系统状 态重构1、确定原系统的能观性根据给定的受控系统，求能观测性矩阵及能观测性的秩CQ = CAoCA 2rank Q =no则0 110 = 3 = n10 0rank Q = ranko001又因之前以求得系统是完全能控的，所以系统即完全能控、又完全能观测。 因此，系统的极点可以任意配置。计算观测器的反馈矩阵G该设计中系统的极点为s =7.07 + j 7.071v s = 7.07 j7.072s =1003取观测器极点,是观测器的收敛速度是被控系统收敛速度的 3倍。如果仅仅 对闭环极点乘以 3，则阻尼比和最大超量不变，而系统上
