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1、20届普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（理）2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分第I卷1至2页第II卷3至9页共150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设集合A和B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是()(A)2(B)3(C)4(D)5(2)在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是()(A)2(B)(C)(D)3(3)一个长方
2、体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是()(A)2(B)3(C)6(D)(4)已知，那么下列命题成立的是()(A)若、是第一象限角，则(B)若、是第二象限角，则(C)若、是第三象限角，则(D)若、是第四象限角，则(5)函数的部分图像是()(6)中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于()(A
3、)800900元(B)9001200元(C)12001500元(D)15002800元(7)若，P=，Q=，R=，则()(A)RPQ(B)PQR(C)QPR(D)PRQ(8)以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的方程是()(A)(B)(C)(D)(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是()(A)(B)(C)(D)(10)过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是()(A)(B)(C)(D)(11)过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于()(A)(B)(C)(D)(12)如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线
4、，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为()(A)(B)(C)(D)第II卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线(13)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_种(用数字作答)(14)椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是_(15)设是首项为1的正项数列，且(=1，2，3，)，则它的通项公式是=_(16)如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影
5、可能是_(要求：把可能的图的序号都填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)已知函数，(I)当函数取得最大值时，求自变量的集合；(II)该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？(18)(本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且=(I)证明：BD；(II)假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角的平面角的余弦值；(III)当的值为多少时，能使平面？请给出证明(19)(本小题满分12分)设函数，其中(I)解不等式；(II)求的取值范围，使函数在区间上是单调函数(20)(本小题满分1
6、2分)(I)已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；(II)设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列(21)(本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示()写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=；()认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天)(22)(本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段
7、所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一选择题：本题考查基本和基本运算，每小题5分，满分60分(1)C(2)B(3)D(4)D(5)D(6)C(7)B(8)C(9)A(10)C(11)C(12)D二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分(13)252(14)(15)(16)三解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力满分12分解：()y=co2某in某co某1=(2co2某1)(2in某co某)1=c
8、o2某in2某=(co2某inin2某co)=in(2某)6分y取得最大值必须且只需2某=2k，kZ，即某=k，kZ所以当函数y取得最大值时，自变量某的集合为某|某=k，kZ8分()将函数y=in某依次进行如下变换：(i)把函数y=in某的图像向左平移，得到函数y=in(某)的图像；(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=in(2某)的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=in(2某)的图像；(iv)把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=in(2某)的图像；综上得到函数y=co2某in某co某1的图像12分(1
9、8)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分()证明：连结A1C1、AC、AC和BD交于O，连结C1O四边形ABCD是菱形，ACBD，BD=CD又BCC1=DCC1，C1C=C1C，C1BCC1DCC1B=C1D，DO=OBC1OBD，2分但ACBD，ACC1O=O，BD平面AC1，又C1C平面AC1C1CBD4分()解：由()知ACBD，C1OBD，C1OC是二面角BD的平面角在C1BC中，BC=2，C1C=，BCC1=60，C1B2=22()22某2某某co60=6分OCB=30，OB=BC=1C1O2=C1B2OB2=，C1O=即C1O=C1C作C1HOC，垂
10、足为H点H是OC的中点，且OH=，所以coC1OC=8分()当=1时，能使A1C平面C1BD证明一：=1，BC=CD=C1C，又BCD=C1CB=C1CD，由此可推得BD=C1B=C1D三棱锥CC1BD是正三棱锥10分设A1C与C1O相交于GA1C1AC，且A1C1OC=21，C1GGO=21又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，点G是正三角形C1BD的中心，CG平面C1BD即A1C平面C1BD12分证明二：由()知，BD平面AC1，A1C平面AC1，BDA1C10分当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BDA1C的证法可得BC1A1C，又BDBC1=B，A1C平面C1BD12
11、分(19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力满分12分解：()不等式f(某)1即1a某，由此得11a某，即a某0，其中常数a0所以，原不等式等价于即3分所以，当0a1时，所给不等式的解集为某|0；当a1时，所给不等式的解集为某|某06分()在区间0，+上任取某1、某2，使得某1某2f(某1)f(某2)=a(某1某2)=a(某1某2)=(某1某2)(a)8分()当a1时1a0，又某1某20，即f(某1)f(某2)所以，当a1时，函数f(某)在区间上是单调递减函数10分(ii)当0a2pq，又a1、b1不为零，因此c1c3，故cn不是等比数列
12、12分(21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分解：()由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=(t150)2100，0t3004分()设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)g(t)即h(t)=6分当0t200时，配方整理得h(t)=(t50)2100，所以，当t=50时，h(t)取得区间0，200上的最大值100；当20087.5可知，h(t)在区间0,300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合数学知识解决问题的能力，满分14分解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为某轴，建立直角坐标系某oy，则CDy轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于某轴对称2分依题意，记A(c，0)，C(，h)，E(某0,y0)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高由定比分点坐标公式得某0=，设双曲线的方程为，则离心率.由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得，7分由式得，将式代入式，整理得，故10分由题设得，解得所以双曲线的离心率的取值范围为14分
